题解-CF1139D Steps to One

题面

CF1139D Steps to One

一个数列，每次随机选一个 \([1,m]\) 之间的数加在数列末尾，数列中所有数的 \(\gcd=1\) 时停止，求期望长度 \(\bmod 10^9+7\)。

数据范围：\(1\le m\le 10^5\)。

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蒟蒻语

这题的非 dp 做法讲得太玄了而且写题解的人貌似不屑于解释，于是蒟蒻来写一篇。

（其实是 ubuntu 剪贴板炸了没得记录题目了只好写题解了）。

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蒟蒻解

先推一波概率期望式（\(E(x)\) 是 \(x\) 的期望，\(P(x)\) 是 \(x\) 事件的概率）。

\[\begin{split}
E(len)=&\sum_{i\ge 1}P(len=i)\cdot i\\
=&\sum_{i\ge 1}P(len=i)\sum_{j=1}^i\\
=&\sum_{j\ge 1}\sum_{i\ge j}P(len=i)\\
=&\sum_{i\ge 1}P(len\ge i)\\
=&1+\sum_{i\ge 1}P(len>i)\\
\end{split}
\]

因为 \(\gcd_{i=1}^{len} a_i=1\) 就结束了，所以：

\[\begin{split}
P(len>i)=&P\left(\left(\gcd_{j=1}^{i} a_i\right)>1\right)\\
=&1-P\left(\left(\gcd_{j=1}^{i} a_i\right)=1\right)\\
=&1-\frac{\sum_{a_1=1}^m\sum_{a_2=1}^m\cdots\sum_{a_i=1}^m\epsilon\left(\left(\gcd_{j=1}^{i} a_i\right)\right)}{m^i}\\
=&^{\color{#aa88cc}{(1)}}1-\frac{\sum_{a_1=1}^m\sum_{a_2=1}^m\cdots\sum_{a_i=1}^m\sum_{d|\left(\gcd_{j=1}^{i} a_i\right)}\mu(d)}{m^i}\\
=&1-\frac{\sum_{d=1}^m\mu(d)\sum_{a_1=1}^m[d|a_1]\sum_{a_2=1}^m[d|a_2]\cdots\sum_{a_i=1}^m[d|a_i]}{m^i}\\
=&1-\frac{\sum_{d=1}^m\mu(d)\left(\lfloor\frac{m}{d}\rfloor\right)^i}{m^i}\\
=&^{\color{#eeaa22}{(2)}}-\frac{\sum_{d=2}^m\mu(d)\left(\lfloor\frac{m}{d}\rfloor\right)^i}{m^i}\\
\end{split}
\]

\(\color{#aa88cc}{(1)}\) 就是一个莫反，\(\color{#eeaa22}{(2)}\) 就是把 \(d=1\) 的值和 \(1\) 抵消掉。

带回上式：

\[\begin{split}
E(len)=&1+\sum_{i\ge 1}P(len>i)\\
=&1-\sum_{i\ge 1}\frac{\sum_{d=2}^m\mu(d)\left(\lfloor\frac{m}{d}\rfloor\right)^i}{m^i}\\
=&1-\sum_{i\ge 1}\frac{1}{m^i}\sum_{d=2}^m\mu(d)\left(\lfloor\frac{m}{d}\rfloor\right)^i\\
=&1-\sum_{d=2}^m\mu(d)\sum_{i\ge 1}\left(\frac{\lfloor\frac{m}{d}\rfloor}{m}\right)^i\\
=&^{\color{#ff2211}{(3)}}1-\sum_{d=2}^m\mu(d)\frac{\lfloor\frac{m}{d}\rfloor}{m-\lfloor\frac{m}{d}\rfloor}\\
\end{split}
\]

\(\color{#ff2211}{(3)}\) 是无穷等比数列求值：

\[s=x+x^2+x^3+\cdots\\
sx=x^2+x^3+x^4+\cdots\\
s-sx=x\\
s=\frac{x}{1-x}\\
\]

然后就可以筛个 \(\mu(i)\) 就可以 \(\Theta(m)\) 地算了，当然您可以杜教到 \(\Theta(m^{\frac 23})\)，但是那么秀有什么意思呢……

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代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

//Start
typedef long long ll;
typedef double db;
#define mp(a,b) make_pair((a),(b))
#define x first
#define y second
#define be(a) (a).begin()
#define en(a) (a).end()
#define sz(a) int((a).size())
#define pb(a) push_back(a)
#define R(i,a,b) for(int i=(a),I=(b);i<I;i++)
#define L(i,a,b) for(int i=(a),I=(b);i>I;i--)
const int iinf=0x3f3f3f3f;
const ll linf=0x3f3f3f3f3f3f3f3f;

//Data
const int mod=1e9+7;

//Sieve
struct sieve{
	int n;
	vector<bool> np;
	vector<int> prime,mu,inv;
	void Sieve(){
		np[1]=true,mu[1]=1;
		R(i,2,n){
			if(!np[i]) prime.pb(i),mu[i]=-1;
			for(int p:prime){
				if(!(i*p<n)) break;
				np[i*p]=true;
				if(i%p==0){mu[i*p]=0;break;}
				mu[i*p]=mu[i]*mu[p];
			}
		}
		inv[1]=1;
		R(i,2,n) inv[i]=1ll*(mod-mod/i)*inv[mod%i]%mod;
	}
	sieve(int _n){
		n=_n,np.assign(n,false),inv.resize(n);
		prime.clear(),mu.resize(n),Sieve();
	}
};

//Main
int main(){
	ios::sync_with_stdio(0);
	cin.tie(0),cout.tie(0);
	int n; cin>>n;
	sieve math(n+1);
	int ans=1;
	R(i,2,n+1) (ans+=mod-1ll*(mod+math.mu[i])%mod
			   *(n/i)%mod*math.inv[n-n/i]%mod)%=mod;
	cout<<ans<<'\n';
	return 0;
}

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祝大家学习愉快！