2002年NOIP普及组复赛题解

题目涉及算法：

• 级数求和：入门题；
• 选数：搜索；
• 产生数：搜索、高精度；
• 过河卒：动态规划。

级数求和

题目链接：https://www.luogu.org/problemnew/show/P1035

开一个for循环，每次加上1/i，知道和 \(\gt K\) 即可。

实现代码如下：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
double s, K;
int i;
int main() {
    cin >> K;
    for (i = 1; s <= K; i ++) s += 1. / (double) i;
    cout << i-1 << endl;
    return 0;
}

选数

题目链接：https://www.luogu.org/problem/P1036

直接搜索遍历所有的情况，再判断每一种情况下的和是否是素数，即可。

实现代码如下：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n, k, a[22], ans;
bool is_prime(int a) {
    if (a < 2) return false;
    for (int i = 2; i *i <= a; i ++)
        if (a % i == 0) return false;
    return true;
}
void dfs(int pre, int cnt, int tmp) {
    if (cnt >= k) {
        if (is_prime(tmp)) ans ++;
        return;
    }
    for (int i = pre+1; i <= n-k+cnt; i ++) {
        dfs(i, cnt+1, tmp+a[i]);
    }
}
int main() {
    cin >> n >> k;
    for (int i = 0; i < n; i ++) cin >> a[i];
    dfs(-1, 0, 0);
    cout << ans << endl;
    return 0;
}

产生数

题目链接：https://www.luogu.org/problemnew/show/P1037

这道题目就是要判断一下 \(0\) 到 \(9\) 这 \(10\) 个数分别能衍生出多少个数。

这里可以用搜索遍历一下，用 \(cnt[i]\) 来表示 \(i\) 可以达到的数的数量。

然后就去遍历一开始给我们的数的每一位，假设第i为对应的数字是 \(a\) ，那么答案将乘上 \(cnt[a]\) 。

最终输出答案即可。

不过由于答案有可能达到 \(30^{10}\) ，所以得用高精度。

实现代码如下：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 100;
vector<int> g[11];
bool vis[11];
char s[33];
int n, cnt[11], ans[maxn] = { 1 }, tmp[maxn];
void dfs(int u) {
    if (vis[u]) return;
    vis[u] = true;
    int sz = g[u].size();
    for (int i = 0; i < sz; i ++) {
        int v = g[u][i];
        dfs(v);
    }
}
void multi(int a) {
    memset(tmp, 0, sizeof(tmp));
    for (int i = 0; i < maxn; i ++) {
        tmp[i] += ans[i] * a;
        tmp[i+1] += tmp[i] / 10;
        tmp[i] %= 10;
    }
    for (int i = 0; i < maxn; i ++) ans[i] = tmp[i];
}
int main() {
    cin >> s >> n;
    while (n --) {
        int a, b;
        cin >> a >> b;
        g[a].push_back(b);
    }
    for (int i = 0; i <= 9; i ++) {
        memset(vis, 0, sizeof(vis));
        dfs(i);
        if (i == 0) cnt[i] ++;
        for (int j = 1; j <= 9; j ++) if (vis[j]) cnt[i] ++;
    }
    n = strlen(s);
    for (int i = 0; i < n; i ++) {
        int a = s[i] - '0';
        multi(cnt[a]);
    }
    int i = maxn - 1;
    while (!ans[i] && i > 0) i --;
    while (i >= 0) cout << ans[i--];
    cout << endl;
    return 0;
}

过河卒

题目链接：https://www.luogu.org/problem/P1002

这道题目是一道动态规划题。

我们令 \(f[i][j]\) 表示从 \((0,0)\) 走到 \((i,j)\) 的方案数，那么：

• 如果 \((i,j)\) 对应就是马的位置或者在马的公鸡范围内，则 \(f[i][j] = 0\) ；
• 否则（注意，这个否则非常重要），如果 \(i=0,j=0\) ，则 \(f[i][j] = 1\) ；
• 否则，如果 \(i=0\) ，则 \(f[i][j] = f[i][j-1]\) ；
• 否则，如果 \(j=0\) ，则 \(f[i][j] = f[i-1][j]\) ；
• 否则，\(f[i][j] = f[i-1][j] + f[i][j-1]\) 。

实现代码如下：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 22;
int n, m, x, y;
long long f[maxn][maxn];
int main() {
    cin >> n >> m >> x >> y;
    for (int i = 0; i <= n; i ++) {
        for (int j = 0; j <= m; j ++) {
            if (x==i && y==j || abs(x-i)==1 && abs(y-j)==2 || abs(x-i)==2 && abs(y-j)==1)
                f[i][j] = 0;
            else if (!i && !j) f[i][j] = 1;
            else if (!i) f[i][j] = f[i][j-1];
            else if (!j) f[i][j] = f[i-1][j];
            else f[i][j] = f[i-1][j] + f[i][j-1];
        }
    }
    cout << f[n][m] << endl;
    return 0;
}