【GDOI2017 day1】取石子游戏 线段树+区间合并

题面

如果给你一棵有根树，树根为 1，并且树的每个结点上有一个权值，现在我想知道每个点，除它所在子树以外的结点权值集合的 mex，怎么做呢？

在这里，mex 是定义在集合上的函数，mex(S) 表示 S 这个集合中，最小的非负整数喔。

对于 20% 的数据：N ≤ 500, T ≤ 20

另外 50% 的数据：N ≤ 100000, T ≤ 5

最后 30% 的数据：N ≤ 1000000, T ≤ 1

100

\(O(nlogn)\)

考虑把树上问题变为序列上的问题：

每次询问相当于是抠掉dfs序列中的一段区间，然后询问前缀后缀；

考虑给序列复制一遍，那么前缀和后缀拼起来就变成了一个区间。

然后就变成了序列上的问题了。

【清华集训2014】mex

有一个长度为n的数组{a1,a2,...,an}。m次询问，每次询问一个区间内最小没有出现过的自然数。

我们构出权值主席树，每一位表示这一数字至此最后出现的位置。

那么显然有种二分的做法。

同时，离线可以把主席树变成线段树。

Back to Problem

然后这道题就等价于上述的那道题了。

\(O(n)\)

枚举i从0到n，考虑那些树上结点的答案是当前枚举的i。

我们给所有权值=i的结点做个LCA，这个LCA到根节点的路径上未赋值的答案都为i。

然后利用并查集和tarjan求LCA，这是可以做到\(O(n)\)（\(O(n*\alpha)\)）

Code

正确性未知，可能会被卡常的\(O(nlogn)\)做法。

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define fo(i,x,y) for(int i=x;i<=y;i++)
#define fd(i,x,y) for(int i=x;i>=y;i--)
using namespace std;
const int inf=0x7fffffff;
const char* fin="2.in";
const char* fout="2.out";
const int maxn=1000007,maxm=maxn*2,maxt=maxn*4;
int n,m,fi[maxn],la[maxm],ne[maxm],tot,num,a[maxn],w[maxm];
int b[maxn][2],hd,tl,dfn[maxn],ffn[maxn],si[maxn];
int c[maxt];
struct Q{int l,r,id;}q[maxn];
bool cmp(const Q &a,const Q &b){return a.r<b.r;}
void modify(int l,int r,int t,int v,int vv){
	int mid=(l+r)/2;
	if (l==r){c[t]=vv;return;}
	if (v<=mid) modify(l,mid,t*2,v,vv);
	else modify(mid+1,r,t*2+1,v,vv);
	c[t]=(c[t*2]>c[t*2+1]?c[t*2+1]:c[t*2]);
}
int query(int l,int r,int t,int v){
	int mid=(l+r)/2;
	if (l==r) return l;
	if (c[t*2]<v) return query(l,mid,t*2,v);
	else return query(mid+1,r,t*2+1,v);
}
void add_line(int a,int b){
	tot++;
	ne[tot]=fi[a];
	la[tot]=b;
	fi[a]=tot;
}
int read(){
	int x=0;
	char ch=getchar();
	while (ch<'0' || ch>'9') ch=getchar();
	while (ch>='0' && ch<='9') x=x*10+ch-'0',ch=getchar();
	return x;
}
void write(int x){
	int w[20];
	w[0]=0;
	while (x) w[++w[0]]=x%10,x/=10;
	fd(i,w[0],1) putchar(w[i]+'0');
}
void bfs(int v){
	hd=tl=0;
	b[++tl][0]=v;
	b[tl][1]=0;
	while (hd++<tl)
		for(int k=fi[b[hd][0]];k;k=ne[k])
			if (la[k]!=b[hd][1]) b[++tl][0]=la[k],b[tl][1]=b[hd][0];
}
void getdfn(){
	bfs(1);
	fd(i,tl,1){
		int x=b[i][0],y=b[i][1];
		si[x]=1;
		for(int k=fi[x];k;k=ne[k]) if (la[k]!=y) si[x]+=si[la[k]];
	}
	fo(i,1,tl){
		int x=b[i][0],y=b[i][1];
		dfn[x]=ffn[x]=ffn[y]+1;
		ffn[y]+=si[x];
	}
}
void pre(){
	scanf("%d%d",&n,&m);
	tot=0;
	memset(fi,0,sizeof fi);
	memset(ffn,0,sizeof ffn);
	fo(i,1,n) a[i]=read();
	fo(i,1,m){
		int j=read(),k=read();
		add_line(j,k);
		add_line(k,j);
	}
}
int ans[maxn];
void solve(){
	fo(i,1,n) w[dfn[i]]=w[dfn[i]+n]=a[i]+1;
	fo(i,1,4*n) c[i]=0;
	fo(i,1,n) q[i].l=dfn[i]+si[i],q[i].r=dfn[i]+n-1,q[i].id=i;
	sort(q+1,q+n+1,cmp);
	int j=1;
	fo(i,1,n){
		while (j<=q[i].r) modify(1,maxn,1,w[j],j),j++;
		ans[q[i].id]=query(1,maxn,1,q[i].l)-1;
	}
	fo(i,1,n)write(ans[i]),putchar(' ');
	printf("\n");
}
int main(){
	freopen(fin,"r",stdin);
	freopen(fout,"w",stdout);
	int t=read();
	while (t--){
		pre();
		getdfn();
		solve();
	}
	return 0;
}