【bzoj2653】middle 可持久化线段树区间合并

题目描述

一个长度为n的序列a，设其排过序之后为b，其中位数定义为b[n/2]，其中a,b从0开始标号,除法取下整。给你一个长度为n的序列s。回答Q个这样的询问：s的左端点在[a,b]之间,右端点在[c,d]之间的子序列中，最大的中位数。其中a<b<c<d。位置也从0开始标号。我会使用一些方式强制你在线。

输入

第一行序列长度n。接下来n行按顺序给出a中的数。

接下来一行Q。然后Q行每行a,b,c,d，我们令上个询问的答案是x(如果这是第一个询问则x=0)。

令数组q={(a+x)%n,(b+x)%n,(c+x)%n,(d+x)%n}。

将q从小到大排序之后，令真正的要询问的a=q[0],b=q[1],c=q[2],d=q[3]。　　

输入保证满足条件。

第一行所谓“排过序”指的是从大到小排序！

输出

Q行依次给出询问的答案。

样例输入

5
170337785
271451044
22430280
969056313
206452321
3
3 1 0 2
2 3 1 4
3 1 4 0

样例输出

271451044
271451044
969056313

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题解

可持久化线段树区间合并（断句为：可持久化线段树/区间合并）

首先离散化，然后一眼二分，问题转化为：求是否存在一个左端点在 $[a,b]$ ，右端点在 $[c,d]$ 的区间，使得区间内大于等于 $mid$ 的数的个数 $\ge$ 小于 $mid$ 的数的个数。

如果把大于等于 $mid$ 的数看作 $+1$ ，小于 $mid$ 的数看作 $-1$ ，那么就是要找一段满足端点限制的区间，使得区间和大于等于 $0$ 。

也就是说求出满足条件的区间中最大区间和，判断其是否大于等于 $0$ 即可。

考虑怎么找出满足条件的区间中最大区间和：必选段为 $[b,c]$ ，剩下的是 $[a,b-1]$ 中包含右端点的最大连续子段和以及 $[c+1,d]$ 中包含左端点的最大连续子段和。

于是使用线段树区间合并来维护区间和、包含左&右端点的最大连续子段和。

但是不能对于每个二分的 $mid$ 维护一棵线段树。由于 $mid$ 从 $0$ 变化到 $n$ 的过程中，修改的总次数为 $n$ ，因此可以对每一个权值 $mid$ 开一棵可持久化线段树来维护。

于是这就是可持久化线段树区间合并？

时间复杂度 $O(n\log^2 n)$

PS：不需要从大到小排序.. 代码瞎写的..

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#define N 20010
#define lson l , mid , ls[x]
#define rson mid + 1 , r , rs[x]
using namespace std;
struct node
{
	int w , id;
	bool operator<(const node &a)const {return w > a.w;}
}v[N];
struct data
{
	int ts , lv , rv;
	data() {ts = lv = rv = 0;}
	friend data operator+(const data &a , const data &b)
	{
		data ans;
		ans.ts = a.ts + b.ts;
		ans.lv = max(a.lv , a.ts + b.lv);
		ans.rv = max(b.rv , b.ts + a.rv);
		return ans;
	}
}a[N * 50];
int p[4] , ref[N] , top , ls[N * 50] , rs[N * 50] , tot , root[N];
inline void pushup(int x)
{
	a[x] = a[ls[x]] + a[rs[x]];
}
void build(int l , int r , int &x)
{
	x = ++tot;
	if(l == r)
	{
		a[x].ts = -1 , a[x].lv = a[x].rv = 0;
		return;
	}
	int mid = (l + r) >> 1;
	build(lson) , build(rson);
	pushup(x);
}
void update(int p , int l , int r , int x , int &y)
{
	y = ++tot;
	if(l == r)
	{
		a[y].ts = a[y].lv = a[y].rv = 1;
		return;
	}
	int mid = (l + r) >> 1;
	if(p <= mid) rs[y] = rs[x] , update(p , lson , ls[y]);
	else ls[y] = ls[x] , update(p , rson , rs[y]);
	pushup(y);
}
data query(int b , int e , int l , int r , int x)
{
	if(b <= l && r <= e) return a[x];
	int mid = (l + r) >> 1;
	if(e <= mid) return query(b , e , lson);
	else if(b > mid) return query(b , e , rson);
	else return query(b , e , lson) + query(b , e , rson);
}
int main()
{
	int n , m , i , l , r , mid , ans = 0;
	scanf("%d" , &n);
	for(i = 1 ; i <= n ; i ++ ) scanf("%d" , &v[i].w) , v[i].id = i;
	sort(v + 1 , v + n + 1);
	build(1 , n , root[0]);
	for(i = 1 ; i <= n ; i ++ )
	{
		if(v[i].w != ref[top]) ref[++top] = v[i].w , root[top] = root[top - 1];
		update(v[i].id , 1 , n , root[top] , root[top]);
	}
	scanf("%d" , &m);
	while(m -- )
	{
		for(i = 0 ; i < 4 ; i ++ ) scanf("%d" , &p[i]) , p[i] = (p[i] + ans) % n + 1;
		sort(p , p + 4);
		l = 1 , r = top;
		while(l <= r)
		{
			mid = (l + r) >> 1;
			if(query(p[1] , p[2] , 1 , n , root[mid]).ts
			 + query(p[0] , p[1] - 1 , 1 , n , root[mid]).rv
			 + query(p[2] + 1 , p[3] , 1 , n , root[mid]).lv >= 0)
				ans = ref[mid] , r = mid - 1;
			else l = mid + 1;
		}
		printf("%d\n" , ans);
	}
	return 0;
}