【学术篇】SDOI2011 计算器

好一道三合一...(然而被我做成了四合一)

其实1 2 3是独立的OvO

然后就可以逐个分析了...

1

快速幂..就不说了..(我省选的时候有这么水的20pts部分分么←_←

2

两种做法(写在标题里面了)..

2.1(扩展欧几里得)

\(xy\equiv z(mod\ p)\)

很显然可以写成\(xy=np+z\), 移项得\(xy-np=z\)

为保证\(y,p\)互质, 我们让两边同除\(gcd(y,p)\), 也就是让\(y,p,z\)分别除\(gcd(y,p)\)

由扩展欧几里得, 如果\(gcd(y,p)\)不能整除\(z\),那么方程无解...

处理完直接exgcd就行了.. 这样我们就能得到\(xy-np=1\)的解了.. 然后再乘个\(z\)后对p取模即可..

如果结果小于0呢? 我们可以\(+z\),一直加到不再小于0

或者是可以用\(p-(-p)\ mod\ b\)这样的方式来处理...

2.2(费马小定理)

嘛,其实有一个更简单的角度OvO

\(xy\equiv z(mod\) \(p)\) ∴\(x=y^{-1}*z\)

所以我们求个逆元就完了OvO 由于\(p\)是质数, 而\(y\)一定不是\(p\)的倍数所以一定互质...

直接\(x=z*y^{p-2}\)就做完了...

3

BSGS板子...

BSGS算法 原名Baby steps Giant steps算法 又叫大步小步、北上广深、拔山盖世算法...

就是专门用来求对于给定\(y,z\),满足\(y^x\equiv z(mod\ p)\)中的最小的x的方法...

其思路如下:

• 令\(x=i*m-j\)(这里写成减号方便移项), 则\(y^{im-j}\equiv z(mod\ p)\)
• 移项, \(y^{im}\equiv z*y^j(mod\ p)\)
  
  然后我们枚举\(i,j\)即可...
  
  这里的\(m\)我们取\(\left \lceil \sqrt p \right \rceil\)(可能是跟均值不等式有什么不可告人的关系吧??我也不知道)
  
  之后先从\(0\sim m\)枚举\(j\) ,将\(z*y^j\)存到表里...(开map大概就可以了OvO, 记得值相同就覆盖掉, 因为要求\(im-j\)的最小值, 所以要让\(j\)尽量大...)
  
  然后从\(1\sim m\)枚举\(i\) ,如果\(y^{im}\)在表里找到了相等的值, 那就找到了\(x\), 而且\(x\)肯定是最小的..

这样就行了..具体实现可以看代码

代码

今天心情特别好, 所以写代码要压行... 然后这个三合一写了15行OvO

所以就出现了很难看的代码OvO...建议学习代码实现的还是去百度另寻高明吧OvO

#include <map>
#include <cmath>
#include <cstdio>
typedef long long LL;
std::map<LL,int> v;LL T,L,y,z,c;
#define NOANS	{puts("Orz, I cannot find x!");return;}
inline LL gn(LL a=0,char c=0){for(;c<48||c>57;c=getchar());for(;c>47&&c<58;c=getchar())a=a*10+c-48;return a;}
LL qpow(LL a,LL b,LL p,LL s=1){for(;b;b>>=1,a=a*a%p)if(b&1) s=s*a%p;return s;}
void B(){y%=c;z%=c;if(z&&!y)NOANS printf("%d\n",z*qpow(y,c-2,c)%c);} //这里用的费马(因为短)
void C(LL m=1,LL x=1,LL p=1){if(y%c==0)NOANS m=sqrt(c)+0.5;x=z;p=qpow(y,m,c);v.clear();
	for(LL j=0;j<=m;++j)v[x]=j,x=x*y%c;x=1;
	for(LL i=1;i<=m;++i){x=x*p%c;if(v[x]){printf("%lld\n",i*m-v[x]);return;}}
NOANS} //BSGS
void WORK(){T=gn(),L=gn();while(T--){y=gn(),z=gn(),c=gn();if(L==1)printf("%d\n",qpow(y,z,c));if(L==2)B();if(L==3)C();}}
int main(){WORK();}
//LL gcd(LL a,LL b){return !b?a:gcd(b,a%b);}
//void exgcd(LL a,LL b,LL& x,LL& y){!b?x=1,y=0:(exgcd(b,a%b,y,x),y-=(a/b)*x);}
//void B(LL a=0,LL b=0,LL d=0,LL x=0){a=y;b=-c;d=gcd(a,b);if(z%d)NOANS
//	a/=d;b/=d;z/=d;exgcd(a,b,x,y);x=x*z%b;if(x<0)x=b-(-x)%b;printf("%d\n",x);
//} //被注释的几行是2.1(扩欧的实现)