【JZOJ2224】【NOI2006】最大获利

题目描述

　　新的技术正冲击着手机通讯市场，对于各大运营商来说，这既是机遇，更是挑战。THU集团旗下的CS&T通讯公司在新一代通讯技术血战的前夜，需要做太多的准备工作，仅就站址选择一项，就需要完成前期市场研究、站址勘测、最优化等项目。

　　在前期市场调查和站址勘测之后，公司得到了一共N个可以作为通讯信号中转站的地址，而由于这些地址的地理位置差异，在不同的地方建造通讯中转站需要投入的成本也是不一样的，所幸在前期调查之后这些都是已知数据：建立第i个通讯中转站需要的成本为Pi（1≤i≤N）。

　　另外公司调查得出了所有期望中的用户群，一共M个。关于第i个用户群的信息概括为Ai, Bi和Ci：这些用户会使用中转站Ai和中转站Bi进行通讯，公司可以获益Ci。（1≤i≤M, 1≤Ai, Bi≤N）

　　THU集团的CS&T公司可以有选择的建立一些中转站（投入成本），为一些用户提供服务并获得收益（获益之和）。那么如何选择最终建立的中转站才能让公司的净获利最大呢？（净获利 = 获益之和 - 投入成本之和）

输入

输入文件中第一行有两个正整数N和M 。

第二行中有N个整数描述每一个通讯中转站的建立成本，依次为P1, P2, …, PN 。

以下M行，第(i + 2)行的三个数Ai, Bi和Ci描述第i个用户群的信息。

所有变量的含义可以参见题目描述。

输出

你的程序只要向输出文件输出一个整数，表示公司可以得到的最大净获利。

样例输入

5 5

1 2 3 4 5

1 2 3

2 3 4

1 3 3

1 4 2

4 5 3

样例输出

4

数据范围

80%的数据中：N≤200，M≤1 000。

100%的数据中：N≤5 000，M≤50 000，0≤Ci≤100，0≤Pi≤100。

样例解释

选择建立1、2、3号中转站，则需要投入成本6，获利为10，因此得到最大收益4。

解法

网络流建模——最大权闭合子图：

把一个用户群视为一个权值为ci的点，每个中转站视为一个权值为-pi的点。

每个代表用户群的点向代表ai和bi的中转站的点连一条有向边。

那么就是求原图的最大权闭合子图。

---

建模：

源点向所有权值为正的点连一条容量为其权值的边；

所有权值为负的点向汇点连一条容量为其权值的绝对值的边；

原图中有的边照搬并具有无穷大容量。

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#define ll long long
#define sqr(x) ((x)*(x))
#define ln(x,y) int(log(x)/log(y))
#define lab(x) x+m+1
#define user(x) x+1
using namespace std;
const char* fin="ex2224.in";
const char* fout="ex2224.out";
const int inf=0x7fffffff;
const int maxn=60007,maxm=maxn*10;
int n,m,i,j,k,l,tot=1,num,sum,ans;
int fi[maxn],la[maxm],ne[maxm],va[maxm];
int bz[maxn],cnt[maxm];
void add_line(int a,int b,int c){
    tot++;
    ne[tot]=fi[a];
    la[tot]=b;
    va[tot]=c;
    fi[a]=tot;
}
void add(int v,int u,int r){
    add_line(v,u,r);
    add_line(u,v,0);
}
int gap(int v,int flow){
    int i,use=0,k;
    if (v==num) return flow;
    for (k=fi[v];k;k=ne[k])
        if (va[k] && bz[v]==bz[la[k]]+1){
            i=gap(la[k],min(flow-use,va[k]));
            use+=i;
            va[k]-=i;
            va[k^1]+=i;
            if (use==flow || bz[1]==num) return use;
        }
    if (!--cnt[bz[v]]) bz[1]=num;
    cnt[++bz[v]]++;
    return use;
}
int main(){
    scanf("%d%d",&n,&m);
    num=n+m+2;
    for (i=1;i<=n;i++){
        scanf("%d",&j);
        add(lab(i),num,j);
    }
    for (i=1;i<=m;i++){
        scanf("%d%d%d",&j,&k,&l);
        add(1,user(i),l);
        add(user(i),lab(j),inf);
        add(user(i),lab(k),inf);
        sum+=l;
    }
    cnt[0]=num;
    while (bz[1]<num) ans+=gap(1,inf);
    ans=sum-ans;
    printf("%d",ans);
    return 0;
}

启发

存在依赖关系的点，即有最大权闭合子图；

譬如选择一个点，必须选他的后继之类的。