【文献阅读】 PVDF &阻尼&有限元建模

1. 压电Damper原理

Piezoelectric Composite Materials - ScienceDirect

当振动传递到压电材料时，振动能量通过压电效应转化为电能，产生交流电压。所产生的电能\(U_E\)可以用机电耦合系数k和机械能\(U_m\)表示:

\[U_\mathrm{E}=U_\mathrm{M}\times k^2
\]

电路处于开路或者短路

电能又会重新转换为振动能（不存在能量损耗)

接上电阻

部分电能以电阻焦耳热的形式耗散，可以迅速抑制振动。

graph LR

A[振动能]--压电效应-->B[交流电流产生]
B---->C[电阻发热]
B--随着应变变小而有部分电能转换回应变能-->A

下图是用于减震的｛压电陶瓷-聚合物-炭黑｝复合材料

上图来源：A new vibration damping CFRP material with interlayers of dispersed piezoelectric ceramic particles - ScienceDirect

文献一：《Analysis of Piezoelectric Smart Composites Using a Coupled Piezoelectric-Mechanical Model》

摘要：

本文利用双向压电-机械耦合理论来研究具有表面粘贴压电致动器和传感器的复合材料层合板的多场相互作用。采用高阶电位场以准确描述压电层中电位的非均匀分布，并使用高阶层合板理论来描述复合材料层合板和压电层的位移场，以准确模拟在中等厚度结构中显著的横向剪切变形。开发了有限元层合板模型，用以实现理论，并研究了致动和传感效应。

主要工作：

建立双向压电-机械耦合理论
开发有限元层合板模型
研究压电材料的致动和传感效果

研究方法：

使用高阶电位场和位移场理论
基于耦合场的变分原理获取控制方程
利用有限元技术实现理论

研究流程：

引入高阶电位场和位移场假设
根据变分原理建立控制方程
通过有限元方法求解控制方程
分析耦合效应对结构变形、应力分布和电信号预测的影响
比较耦合模型与非耦合模型的结果

结论：

双向耦合效应显著影响结构变形、应力分布和电信号的预测
压电层与板结构的厚度比是控制耦合效应重要性的一个关键参数
耦合理论能够准确模拟厚压电层的特性
非耦合模型在预测电荷积累和电场分布方面存在偏差

文献二：《A Simple Finite Element Formulation for a Laminated Composite Plate with Piezoelectric Layers》

摘要：

本文提出了一种简单的有限元公式，用于分析带有层状压电层的复合板。基于经典层合板理论和电磁耦合激励，利用变分原理，为基于均匀化数值积分和沙漏稳定的Mindlin板元素制定了运动方程。

主要工作：

提出一种用于分析带有压电层的层合板的简化有限元公式
利用经典层合板理论和变分原理制定运动方程

- 使用四节点、24自由度的矩形壳元素进行离散化

研究方法：

基于经典层合板理论
引入电磁耦合激励
使用变分原理
应用数值积分和沙漏稳定技术

研究流程：

选择四节点、双线性位移Mindlin板元素
利用Hamilton原理推导层合板的运动方程
引入沙漏稳定技术处理数值积分问题
通过实验和文献中的分析结果验证有限元公式的性能

结论：

提出的有限元模型与实验数据和文献中的固体元素公式结果吻合良好
基于一点积分Mindlin板公式的有限元模型比固体元素模型更简单、计算效率更高
该模型在模拟问题时使用的自由度数量显著减少，降低了计算内存和时间需求

《用于叶片减振的压电材料分布拓扑优化》

《压电层合板等效单层Mindlin理论及其应用》

Equivalent single‐layer Mindlin theory of laminated piezoelectric plates and application - Lian - 2024 - ZAMM - Journal of Applied Mathematics and Mechanics / Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Mechanik - Wiley Online Library

摘要提取：

本文基于Mindlin一阶剪切变形理论，提出了一种等效单层(ESL)板理论来分析层状压电板(LPPs)的电-力耦合问题。主要特点包括：

(i) 假设电势沿厚度方向是多项式函数，确保其在界面的连续性；
(ii) 电位移在界面连续，符合层压板界面连续性条件。

得到了LPPs变形和电势的理论解。通过与三维有限元方法(FEM)得到的双层和四层LPPs结果的比较，验证了理论解的有效性和准确性。数值结果讨论了不同级数展开的影响，并强调了高阶展开的必要性。同时，讨论了三维FEM的适用范围。期望这种新的分析方法能为压电器件的优化设计提供指导。

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论文中心精炼：

论文的中心是提出并验证一种新的理论模型——等效单层Mindlin理论，用于分析层状压电板的电-力耦合问题，特别是针对微/纳尺度的层状压电板。

论文推导的等效公式，针对含多种压电材料的多层结构进行等效

论文做了什么工作？

提出了基于Mindlin一阶剪切变形理论的等效单层(ESL)板理论。
建立了电势沿厚度方向的多项式函数表达，确保电势在层间界面的连续性。
推导出了电位移的连续性条件，满足层压板的界面连续性要求。
获得了LPPs的变形和电势的理论解。
通过与三维有限元方法(FEM)结果的比较，验证了新理论的有效性和准确性。

论文推导了LPPs的等效本构方程：

\[\sigma_{ij}=\bar{c}_{ijkl}\varepsilon_{kl}-\alpha\bar{e}_{ijk}E_{k}\quad
D_{i}=\alpha\bar{e}_{ikl}\varepsilon_{kl}+\bar{\kappa}_{ik}E_{k},\\
\]

式中：

\[\begin{gathered}
\bar{c}_{ijkl} =c_{ijkl}-c_{ij33}c_{33kl}/c_{3333}, \\
\bar{e}_{kij} =e_{kij}-e_{k33}c_{33ij}/c_{3333}, \\
\bar{\kappa}_{ij} =\kappa_{ij}-e_{i33}e_{j33}/c_{3333}.
\end{gathered}\]

研究方法：

利用Mindlin一阶剪切变形理论，构建了ESL理论框架。
采用多项式函数来描述电势沿厚度方向的分布。
引入了电位移的连续性条件，确保了理论模型满足物理实际。
通过数学推导，建立了电-力耦合的控制方程。
使用三维有限元方法(FEM)作为参考解，对新理论进行验证。

研究流程：

理论构建：基于Mindlin理论，提出ESL板理论。
函数假设：假设电势为沿厚度方向的多项式函数。
推导控制方程：建立电-力耦合的动力学和静电力学方程。
求解方程：求解得到LPPs的变形和电势分布。
结果验证：与三维FEM结果进行比较，验证理论解的准确性。
参数影响分析：研究不同参数（如厚度-宽度比、材料组合）对电势分布的影响。
结论提炼：根据研究结果，得出结论并讨论新理论的应用前景。

论文中包含了验证案例，具体如下：

验证案例：

双层压电复合板：由PZT-5H/PZT4两种不同材料的均匀各向同性压电层组成，具有相同的厚度，沿z轴方向极化。板的尺寸和厚度具体为L1 = 3 µm, L2 = 3 µm, hI = 100 nm（I = 1, 2），厚度与宽度的比为h/L1 = 1/15。材料属性在表1中列出。假设板的上表面受到均匀分布的载荷q0。
四层压电复合板：由PZT-4/PZT-5H/PZT7/PZT8材料组成，每种材料层的厚度相同，为hI = 100 nm（I = 1, 2, 3, 4），极化方向同样沿z轴。板的尺寸为L1 = 7.5 µm, L2 = 7.5 µm。同样受到均匀分布的载荷q0。

条件设定：

两种案例中，板的边界条件均为固定四周，即在边缘x = 0和L1，y = 0和L2处，分别设置了u(0)1, u(1)1, w, D(0)x和u(0)2, u(1)2, w, D(0)y的边界条件。
板的角落x = L1和y = 0处，设置了电势φ(0)的边界条件。
板的上下表面没有电极，因此引入了自然边界条件Dz = 0。

验证结论：

对于双层和四层压电复合板，ESL理论的结果与三维有限元方法(FEM)的结果进行了比较，显示出良好的一致性，特别是在板的中心区域。
在双层板案例中，电势的计算结果显示在板的中心位置变化最小，最大差异达到10%，这归因于挠度的低阶展开。
在四层板案例中，电势的ESL理论结果与三维FEM结果在板的上下表面非常接近，但在中间层的一致性较差，这可能归因于电势幂级数展开中的高阶项的贡献。
当板的厚度-宽度比hI/L1减小时，本文理论与三维FEM结果之间的差异增加。特别是对于hI/L1 = 1/80，甚至更薄的板，三维FEM结果出现不收敛，而ESL理论方法仍然适用并有效。
材料组合对电势分布有一定影响，不同材料组合下沿厚度方向的电势分布存在显著差异。