c-primer-plus深入解读系列-从二进制到误差：逐行拆解C语言浮点运算中的4008175468544之谜

前言

小提示：阅读本篇内容，至少需要了解double和float的二进制表示规则。

书中的代码示例如下：

#include <stdio.h>

int main(void)

{

  float a,b;

  b = 2.0e20 + 1.0;

  a = b - 2.0e20;

  printf("%f \n",a);

  return 0;

}

我的测试环境如下所示，在该测试环境中，a 等于 4008175468544.000000。

Linux version 5.15.0-134-generic (buildd@lcy02-amd64-092) (gcc (Ubuntu 9.4.0-1ubuntu1~20.04.2) 9.4.0, GNU ld (GNU Binutils for Ubuntu) 2.34) #145~20.04.1-Ubuntu SMP Mon Feb 17 13:27:16 UTC 2025

为什么会产生这样的结果呢？由于书中的解释不够详细，所以我在阅读至此处时，自然而然产生了想要深入研究的想法，遂将研究结果写为本篇博客，供大家参考。

针对这个问题，我的思路是，逐行分析每一句代码都产生了什么效果，或许就可得知误差出现在哪里。下面开始逐行分析。

逐行分析解读-第一行代码

首先是第一行：

b = 2.0e20 + 1.0;

先从右边的计算 2.0e20 + 1.0 开始，我们首先需要把这两个常量的二进制表示出来，然后做浮点数加法运算。

2.0e20 和 1.0的二进制表示

首先，2.0e20会被当作double类型的数据进行处理，根据double类型的存储规则，它的底层二进制如下：

0-10001000010-0101101011110001110101111000101101011000110001000000

其中：

符号位：0
指数部分：10001000010
尾数部分：0101101011110001110101111000101101011000110001000000

插播一个小知识（不关心的可略过）：给定一个大数，它的二进制是如何计算得出的呢？

首先，将$2 \times 10^{20}$进行质因式分解：

$2 \times 10^{20} = 2 \times (2 \times 5)^{20} = 2^{21} \times 5^{20}$

这表明，$2 \times 10^{20}$是由$2^{21}$和$5^{20}$的乘积构成，也就是说，这个大数的二进制形式可以看成5²⁰的二进制左移21位（即乘以2²¹），也就是说，我们需要求得$5^{20}$的二进制。

求$5^{20}$的二进制：

$5^{20}$的十进制为：95367431640625

十进制求得二进制的过程，简单来说，即用95367431640625不断除以2，得到余数1或者余数0的一个竖向序列，将其倒序即是所求二进制。这里我直接写出二进制：

10101101011110001110101111000101101011000110001（一共为47位）

整体二进制表示：

由上述计算可得知，$2 \times 10^{20}$的二进制为：

$10101101011110001110101111000101101011000110001 \times 2^{21}$ 我们将其规范化，得到

$1.0101101011110001110101111000101101011000110001 \times 2^{67}$

求出了整体的二进制，double类型的具体存储就简单很多了。

首先是指数部分：67 + 1023 = 1090，二进制为10001000010

然后是尾数部分：直接提取小数点之后的部分，只有46位，还需要填充6个0即可（满足尾数52位的需求）

（小知识后咱们继续）其次，1.0也会被当作double类型来接收，底层二进制如下：

0 01111111111 0000000000000000000000000000000000000000000000000000

这个二进制就不详细说明了，相信有了前文的基础，读者可以轻松计算出来。

这里提供一套工具函数，用来打印float和double类型的二进制bit，用来验证很方便：

#include <stdio.h>

#include <stdint.h>

void print_bits_float(float f)

{

    union {

        float a;

        uint32_t b;

    }c;

    c.a = f;

    for (int i = 0; i < 32; i++) {

        printf("%d", c.b & 1 << (31 - i) ? 1 : 0);

        if (i == 0 || i == 8)

            printf(" ");

    }

    printf("\n");

}

void print_bits_double(double d)

{

    union {

        double a;

        uint64_t b;

    }c;

    c.a = d;

    for (int i = 0; i < 64; i++) {

        //caution! 1ULL not 1 because 1 << or >> more than 31 is undefined behaviour.

        printf("%d", c.b & (1 ULL << (63 - i)) ? 1 : 0);

        if (i == 0 || i == 11)

            printf(" ");

    }

    printf("\n");

}

有了2.0e20 和 1.0的二进制以后，接着需要做浮点数的加法运算。

2.0e20 + 1.0的浮点数加法运算

对阶

加法运算的第一个步骤叫对阶。什么叫对阶呢？就是把较小的指数对齐至另外的较大的指数，方便计算。

比如：

$0.5_{10}$ + $0.4375_{10}$ ，下标代表进制，所以这里是十进制的0.5加十进制的0.4375

先把它们转化为二进制。$0.5_{10} = 1.0_{2} \times 2^{-1}$ 和 $0.4375_{10} = 1.11 \times 2^{-2}$

找到较小指数，即$1.11 \times 2^{-2}$（因为-2小于-1），将其指数-2对齐到较大的指数-1，对齐后变成这样：

$1.11 \times 2^{-2} = 0.111 \times 2^{-1}$ 。

这里要注意，因为指数变大了，所以小数点要左移相应的位数以保证数据正确。这个例子中，这两种表达方式对应的数据都是 $0.0111_{2}$。如果换算不清楚的，可以像这样，把不带指数的数据写出来对照一下，看你写的数据运算后是否和不带指数的数据一样。

若是这里有读者基础不好，没看懂，只要明白二进制小数 * 2的N次幂的含义，应该就可以搞懂上述内容了，即当N大于0时，二进制小数 * 2的N次幂相当于把二进制小数的小数点右移N位；当N小于0时，二进制小数 * 2的N次幂相当于把小数点左移N位（联想下十进制就一定能搞懂了）

回到我们的代码，现在要加两个数2.0e20 和 1.0，前面已经讨论过了它们的二进制，接下来我们把它转化为规范化数：

2.0e20的规范化数为（52位完整尾数）

$1.0101101011110001110101111000101101011000110001000000 \times 2^{67}$

1.0的规范化数为（52位完整尾数）(下述为了方便表达，会用1.0替代)

$1.0000000000000000000000000000000000000000000000000000 \times 2^{0}$

需要找到较小的指数，即$1.0 \times 2^{0}$，对齐更大的指数$2^{67}$后，数据变为：

$0.000...0001 \times 2^{67}$（(一共有67个0，小数点后66个0)）

这样对阶就完成了。

有效数相加

对阶完毕后，第二个步骤叫有效数相加。官方叫尾数运算，但其实这个运算是要考虑前导1的，所以我认为把它叫做有效数相加会更容易理解。（有效数：包括了前导1的完整数据，而非小数点后的尾数部分）

2.0e20的有效数为：

$1.0101101011110001110101111000101101011000110001000000$

对阶后的1.0的有效数为：

0.000...0001(一共有67个0，小数点后66个0)

其实仔细分析一下会发现，对阶1.0时会把小数点左移67位，那么当小数点左移67位以后，1其实已经消失了。这是因为，双精度浮点数的尾数是52位，而对阶后的1.0的有效数一共有68位，小数点后的52位被保留了，超过的部分会直接丢弃（而1正好处在丢弃区间内），所以1.0在对阶后尾数部分全部变成0，整个数据也变成了0.0。

既然1.0已经变成了0.0，那么相加之后的结果就还是2.0e20，若用上文提供的print_bits_double来分别打印 2.0e20 和 2.0e20 + 1.0，会发现打印出的二进制值是完全一样的。

因为结果本身已经是规范化数了，所以不需要做最后一个步骤规范化了（本质上就是移动小数点 + 修改对应的指数，相信读者有这个基础可以理解）。

等号右边的加法部分已经分析完毕，那么我们接着看赋值操作。

双精度赋值给单精度

上文介绍了，2.0e20 + 1.0以后，结果其实就是2.0e20，但是此时它是双精度的数据，代码中b的数据类型为float单精度，所以还需要做双精度转换为单精度的操作。

首先是符号位和指数部分的转换。

因为双精度原数据的符号位是0，所以单精度的符号位也是0，代表正数。关于指数部分，我们在上文分析过了，规范化处理后，2.0e20的指数部分为67，转换为单精度浮点数时，需要再加127，即127 + 67 = 194，二进制为11000010。

其次是尾数部分的转换。

因为双精度的尾数部分有52位，而单精度的尾数只有23位，既然单精度尾数部分无法完整容纳原双精度的尾数部分，那么就需要考虑如何舍入。IEEE 754标准提供了四种舍入模式，分别是：

Round to Nearest (Ties to Even)：默认舍入模式，将结果舍入到最接近的可表示值。
Round toward Zero (Truncation)：直接截断超出目标精度的部分。
Round toward +∞ (Ceiling)：结果始终向正无穷方向调整。对正数而言，剩余部分全为0则直接截尾，不全为0则向最低有效位进1；负数的话不看剩余部分，直接截尾。
Round toward −∞ (Floor)：结果始终向负无穷方向调整。对负数而言，剩余部分全为0则直接截尾，不全为0则向最低有效位进1；正数的话不看剩余部分，直接截尾。

下面我们着重讲解Round to Nearest (Ties to Even)模式，因为在我们的实验中，是使用第一种模式进行舍入的。

Round to Nearest (Ties to Even)模式

该模式的规则为：首先向最近的有效数舍入，如果它与两个相邻的有效数距离一样时（即它是中间数，halfway），那么舍入到最近的偶数有效数。

为了方便理解，我们以二进制数据来举例子，假如需要保留的有效位为4位：

1.001（该四位为有效位）+ 后6位（待判断）

最近的有效数有两个，分别为：1.001 和 1.010 。

接着分析下后六位，其取值范围是 000000 到 111111，我们把它分成两个区间来分析：

分析 000000-011111 取值范围

当后六位取值范围在000000-011111时，针对每一个数据，其与1.001 000000 的距离都小于其与1.010 000000 的距离。

我们以这个区间范围内最大的数据 1.001 011111为例：

该数据与1.001的距离为 1.001 011111 - 1.001 000000 = 0.000 011111
该数据与1.010的距离为 1.010 000000 - 1.001 011111 = 0.000 100001

因此，该数据的最近有效数为 1.001，而该数据又是全区间内的最大值，所以该区间范围内的其他数据的最近有效数均为1.001。

分析 100001 - 111111 取值范围

同理，当后六位取值范围在 100001 - 111111时，针对每一个是数据，其与 1.001 000000的距离都大于其与1.010 000000的距离。

我们以这个区间范围内的最小数据 1.001 100001 为例：

该数据与1.001的距离为 1.001 100001 - 1.001 000000 = 0.000 100001
该数据与1.010的距离为 1.010 000000 - 1.001 100001 = 0.000 011111

因此，该数据的最近有效数为 1.010，而该数据又是全区间内的最小值，所以该区间范围内的其他数据的最近有效数均为1.010。

分析中间值 1.001 100000

下面看下唯一还没有被分析过的数：1.001 100000，计算得知：

其与1.001的距离为 0.000 100000
其与1.010 的距离也为 0.000 100000

因为距离一样，所以该数据的舍入规则为舍入到最近的有效偶数，即为 1.010。

由此可见，当剩余部分的从左至右第一位为0时，直接截去；当剩余部分等于1000..000时，舍入到最近的偶数；否则，需要进位。

实际赋值分析

了解了舍入规则后，就可以回到我们的主题代码案例，继续我们的赋值之旅了。

我们已经了解了2.0e20 + 1.0之后1.0会"消失"，结果依旧是2.0e20，它的双精度二进制我们再复习一遍：

0-10001000010-0101101011110001110101111000101101011000110001000000

当需要转化为单精度浮点数时：

符号位：直接把双精度浮点数的符号位填入即可，为0
指数部分：前文分析过，十进制为194，二进制为11000010
尾数部分：需要保留前23位，后29位为判断位
- 前23位：01011010111100011101011
- 后29位：11000101101011000110001000000
  
  根据学习过的舍入规则，有效部分以外的剩余部分（后29位）的第一位非0，且整体非10000...000的形式，所以需要直接进位，那么舍入以后的尾数部分即：
  
  01011010111100011101011 + 1 = 01011010111100011101100
转化以后的单精度浮点数二进制即：0-11000010-01011010111100011101100。

至此，第一行代码就分析完毕了。

逐行分析解读-第二行代码

上文我们已经分析完第一行代码，接下来，我们看下至关重要的第二行代码：

 a = b - 2.0e20;

其实有了上文的基础，我们马上就可以得知，2.0e20是用double类型来接收的，其底层的二进制我们也已经清楚明了。但是在实际做减法之前，还需要将b从单精度浮点数提升为双精度浮点数。双精度转换为单精度的过程我们已经分析过了，因为舍入规则会导致进位，而从单精度提升到双精度则要简单很多，符号位与指数位我们不再分析，尾数部分只需要把单精度浮点数的23位尾数直接填充至双精度浮点数尾数部分的高位，然后剩余部分补0即可，转换以后的二进制如下：

0-10001000010-01011010111100011101100 00000000000000000000000000000

二者类型都为double后，就可以做减法了。

做减法时，先把前导1补充上，然后按位依次相减即可：

1.0101101011110001110110000000000000000000000000000000

-（减法）

1.0101101011110001110101111000101101011000110001000000

--------------------------------------------------------------------------

0.0000000000000000000000000111010010100111001111000000

不要忘记了后面的指数，我们把完整的浮点数写出来：

$0.0000000000000000000000000111010010100111001111000000 \times 2^{67}$

这个形式还不是规范化形式，需要转换为规范化表达：

$1.11010010100111001111000000 \times 2^{41}$

最后，我们需要把这个数据转化为单精度浮点数，才能存储到a变量中。因为尾数部分的有效位一共只有20位，所以用单精度浮点数的23位完全可以表示，就不需要舍入了，转化后的单精度浮点数二进制为：

符号位：0
指数部分：41 + 127 = 168，转化为二进制是10101000
尾数部分：11010010100111001111000

这个数，转化为十进制浮点数打印出来，便是：4008175468544.000000，至此我们的分析之旅结束了。

总结

下面，我们总结下整个过程中的关键步骤：

2.0e20 和 1.0都被当作double类型来接收
2.0e20 + 1.0以后，1.0因为对阶，有效部分在小数点左移过程中消失（存在于大于52位的位置）
双精度转换为单精度的过程，因为舍入规则，产生了进位，导致实际存储的float类型的值要比原来的double类型的值要大一些
后续把单精度提升为双精度，导致后面29位直接补0

所以，在整个过程中，误差出现的关键便在于：

第一次双精度加法后赋值给单精度，导致双精度数据变为单精度数据，而舍入规则导致了进位；
后续减法计算过程中，又把单精度数据转化位双精度，后29位直接补0，导致比实际双精度的2.0e20的二进制要大一些，产生的误差便是最终的结果：4008175468544.000000。

这也提示我们，在计算过程中，应该使用统一的数据类型，避免出现双精度转换单精度这种隐含操作。

上述代码案例若使用下面两种写法，则都会正确输出0.0

#include <stdio.h>

int main(void)

{

  double a,b;

  b = 2.0e20 + 1.0;

  a = b - 2.0e20;

  printf("%f \n",a);

  return 0;

}

#include <stdio.h>

int main(void)

{

  float a,b;

  b = 2.0e20f + 1.0f;

  a = b - 2.0e20f;

  printf("%f \n",a);

  return 0;

}