Noip前的大抱佛脚----数论

数论

Tags：Noip前的大抱佛脚

目录

• 数论
• 知识点
  • Exgcd
  • 逆元
  • gcd
  • 欧拉函数$\varphi(x)$
    • 计算公式
    • 降幂公式
  • CRT&EXCRT
  • BSGS&EXBSGS
  • FFT/NTT/MTT/FWT
    • 原根相关
    • 注意点
  • 组合公式
  • 斯特林数
    • 第一类斯特林数
    • 第二类斯特林数
  • 卡塔兰数
  • 常用数学公式
• 技巧经验
  • 容斥
  • 组合计数
  • 区间筛
  • 博弈
• 有趣的式子
  • gcd有关
• 数论模板库
  • 黑科技
    • $long\ long$相乘取模
    • 子集枚举
    • 高维前缀和
  • 各种线性筛
  • 高级算法
    • Exgcd
    • Lucas
    • EXCRT
    • BSGS
    • 高斯消元
    • 线性基
    • 裴蜀定理
    • FFT
    • 拉格朗日插值
    • NTT
    • FWT

知识点

Exgcd

\(O(logn)\)求解\(Ax+By=C\)的问题

1、若\(C\%gcd(A,B)!=0\)则无解

2、\(Gcd=gcd(A,B);A/=Gcd,B/=Gcd,C/=Gcd\)

3、代入下面代码求\(Ax+By=1\)

4、\(x*C\)，得到一组特解

5、通解为\(\begin{cases}x=x_0+k*B \\y=y_0+k*A\end{cases}\)

void Exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y)
{
	if(!b){x=1;y=0;return;}
	Exgcd(b,a%b,y,x);y-=a/b*x;
}

逆元

在\(gcd(A,P)==1\)时，\(A\)在模\(P\)意义下存在逆元（证明可以符合Exgcd有解的证明），其余情况不存在逆元

通常\(P\)为质数时就是\(A^{p-2}\)作为逆元（费马小定理）

• 欧拉定理（费马小定理） \(x^{-1}\equiv x^{p-2}(mod\ p)\)，要求\(p\)为质数

• 解方程（Exgcd）\(Px+Ay=1,A=\frac{1}{y}(mod\ P)\)

• 线性递推逆元：

  令\(a=\lfloor\frac{p}{i}\rfloor,b=p\%i\)，则有\(ai+b=p,i\equiv-\frac{b}{a}(mod\ p),\frac{1}{i}\equiv-\frac{a}{b}(mod\ p)\)

  由于\(b<i\)，所以\(b\)的逆元已经求出，直接可以得到：

  inv[i]=p-(p/i*inv[p%i])%p;
  

gcd

具有一些奇妙的性质，如可合并

• 往数集中加入一个数，要么gcd不变，要么至少变为原来的\(\frac{1}{2}\)（所以可以用来分块了(同样的xor也每次只会增加log次)）

欧拉函数\(\varphi(x)\)

表示小于x且与x互质的数的个数

计算公式

\[\varphi(n)=n*\prod(1-\frac{1}{p_i})$$，其中$p_i$表示$n$的不相同的质因子

#### **欧拉公式**

$$a^{\varphi(p)}\equiv 1\ (mod \ p)\]

降幂公式

• \(x,p\)互质：\(x^k\equiv x^{k\%\varphi(p)}\ (mod\ p)\)
• \(x,p\)不互质：\(x^k\equiv \begin{cases}x^{k}\ (mod\ p),k\le\varphi(p) \\x^{k\%\varphi(p)+\varphi(p)}\ (mod\ p),k>\varphi(p)\end{cases}\)

CRT&EXCRT

\(O(nlogn)\)求解一系列同余方程，如

\[\begin{cases}x\equiv A_1(mod\ P_1) \\x\equiv A_2(mod\ P_2) \\...\\x\equiv A_n(mod\ P_n) \\\end{cases}
\]

代码如下（未判无解，无解即exgcd无解）

ll gcd(ll a,ll b) {return !b?a:gcd(b,a%b);}
void Exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y)
{
    if(!b) {x=1;y=0;return;}
    Exgcd(b,a%b,y,x);y-=a/b*x;
}
int EXCRT()
{
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        ll g=gcd(P[i-1],P[i]),C=(A[i]-A[i-1])/g,x,y;
        Exgcd(P[i-1]/g,P[i]/g,x,y);
        P[i]=P[i-1]*P[i]/g;
        A[i]=A[i-1]+P[i-1]*x*C;
        A[i]=(A[i]%P[i]+P[i])%P[i];
    }
    return A[n];
}

方法是每次合并两个方程，手推式子\(P[i]x+A[i]=P[i+1]y+A[i+1]\ \ \ ->\ \ \ P[i]x+P[i+1]y=A[i+1]-A[i]\)

可以发现模数为原来的\(lcm\)（先除以\(gcd\)再乘，很容易爆\(long\ long\)），余数为原来余数加上模数的\(x\)倍

注意经常x算出来是负数所以时刻\(+mod)\%mod !\)

有的时候题目并没有那么裸

• \(x\)前带系数（屠龙勇士）

\(Ax\equiv B(mod\ p)\ \ ->\ \ Ax+pk=B(当且仅当B\%gcd(A,p)==0时有解)\ \ ->\ \ x=x_0+tp\ \ ->\ \ x\equiv x_0(mod\ p)\)

• CRT合并答案

对于一些公式，只适用于模数是质数的情况，而题目要求的模数要是任意正数，所以可以求得

\[\begin{cases}Ans\equiv A_1(mod\ P_1) \\Ans\equiv A_2(mod\ P_2) \\...\\Ans\equiv A_n(mod\ P_n) \\\end{cases}
\]

然后用CRT合并答案，求得\(Ans\equiv OUTANS\ (mod\ Mod)\)

但是就所见到的题目来说（任意模数NTT），只有在答案不太大的时候适用，例如该题答案不会超过\(10^9*10^9*10^5=10^{23}\)，方法是选取三个乘积大于\(10^{23}\)的NTT模数，得到

\[\begin{cases}Ans\equiv A_1(mod\ P_1×P_2) \\Ans\equiv A_2(mod\ P_3) \\\end{cases}
\]

令\(M=P_1*P_2\)于是\(Ans=kM+A_1=k_3P_3+A_2\)，即\(kM+A_1\equiv A_2(mod\ P_3)\)

由于\(Ans\le10^{23}<P_1P_2P_3=MP_3\)，所以\(k<P_3\)，根据此同余方程可以求得\(k\)在\(mod\ P_3\)的解也就是\(k\)的实际值

然后就可以带入求得答案\(Ans=kM+A_1\)了，不过会爆\(long\ long\)，可以采用这个

ll mul(ll x,ll y,ll p) {return (x*y-(ll)((long double)x/p*y+0.5)*p+p)%p;}

BSGS&EXBSGS

快速（\(O(\sqrt n)\)）求解\(A^x=B(mod\ P)\)的\(x\)的解，板子题：[SDOI2013]随机数生成器

普通的BSGS要求P是质数，拓展的可以不用是质数

通过降幂公式，能够知道\(x\le P-1\)，令\(M=\sqrt P\)，则\(x=iM+j\)，可以枚举\(i\)的值，得到\(t=A^{(i+1)M}\)，查表看是否存在\(T=A^{M-j}B\)满足条件，得到解就返回，这样就能保证解是最小的了

int BSGS(int A,int B,int P)
{
  	if(!A%P) return -1;
  	int M=sqrt(P)+1;Hash.reset();
  	for(int i=0,t=B;i<M;i++,t=1ll*t*A%P) Hash.Add(t%Mo,t,i);//存入B*A^i的哈希值
  	for(int i=1,bs=ksm(A,M,P),t=bs;i<=M;i++,t=1ll*t*bs%P)//t=A^{(i+1)M}
    	if(Hash.Query(t)!=-1) return i*M-Hash.Query(t);
  	return -1;
}

FFT/NTT/MTT/FWT

板子见最下方

原根相关

定义：

原根类似于FFT的单位复根，使得能够进行取模操作

NTT模数是指有原根且是\(r×2^k+1\)的形式的模数，如\(998244353(3)\)、\(1004535809(3)\)

存在性及判定：

一个数有原根当且仅当它为\(2,4,p,2p,p^r\)（p为奇质数）

\(g^1,g^2...g^{\phi(p)}\)在\(mod\ p\)下各不相同，且\(g^{\phi (p)}=1\)，当p为质数时，也就是说\(g^1...g^{p-1}\)分别对应\(1...p-1\)

在\(p\)为质数时，令\(p-1=p_1^{a1}p_2^{a_2}...p_n^{a_n}\)，若存在\(g^{\frac{p-1}{p_i}}=1\)则\(g\)不是原根，否则是原根（证明）

注意点

• 两个多项式最高次项分别为\(l1,l2\)，那么需要开的长度(包括0)是\(>l1+l2\)的第一个形如\(2^k\)的数

组合公式

• 从\((0,0)\)走到\((n,m)\)，不碰到直线\(y=x+b\)的方案数：\(C(n+m,n)-C(n+m,n-b)\)

  意义为沿着直线翻折，越过直线的路径对称域从翻着顶点到终点的路径

斯特林数

第一类斯特林数

第一类斯特林数：\(n\)个人坐\(m\)张圆桌的方案数（人不同，圆桌相同，n个元素构成m个圆排列）

\[s[n,m]=s[n-1,m-1]+s[n-1,m]*(n-1)
\]

第二类斯特林数

第二类斯特林数：\(n\)个球放入\(m\)个盒子的方案数（球不同，盒子相同，n个元素分成m个非空集合）

\[S\{n,m\}=S\{n-1,m-1\}+S\{n-1,m\}*m
\]

卡塔兰数

\[C_n=\frac{C_{n-1}*(4n-2)}{n+1}$$$$C_n=C(2n,n)-C(2n,n-1)
\]

常用数学公式

• 平方和的前缀和 \(\sum_{i=1}^{n}i^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\)
• 立方和的前缀和 \(\sum_{i=1}^{n}i^3=(\frac{n(n+1)}{2})^2\)

技巧经验

容斥

• 从\((0,0)\)到\((n,m)\)且不经过一些禁点的方案数（BZOJ两双手）

  \(f[i]=\sum_{j=0}^{j<i}-f[j]*way(j,i),f[0]=-1,way(j,i)\)表示从j点到i点的方案数，按照从\((0,0)\)走到该点的所需步数排序

组合计数

• 可以画成二维平面上的点去移动，辅助理解、推式子

区间筛

• 区间筛质数个数

  luogu1835素数密度：筛出长度为\(10^6\)的一段区间内的质数个数，左右端点在int以内

  方法：枚举到\(\sqrt r\)然后用\(j=(l-1)/i*i+i\)暴力在这个区间内筛掉合数

• 区间筛\(\varphi()\)之和

  luogu3601签到题：筛出长度为\(10^6\)的一段区间的\(\varphi(i)\)之和，左右端点在\(10^{12}\)以内

  方法：枚举到\(\sqrt r\)然后\(ans[i]=ans[i]/p*(p-1)\)

• 区间筛\(\mu()\)之和

  luogu3653小清新数学题：筛出长度为\(10^6\)的一段区间的\(\mu(i)\)之和，左右端点在\(10^{18}\)以内

  方法：枚举到\(10^6\)然后用质数暴力搞，除剩下的数如果不是\(1\)那么只有三种情况：

• 质数的平方：用\(sqrt\)判掉

• 一个质数

• 两个质数之积
  
  上述两种可以用Miller—Rabin素性判断判掉，不过更方便的是\(check\):\(2^{p-1}\%p==1\)、\(3^{p-1}\%p==1\)。这题判两次可以过，当然是有可能不准确的。。

博弈

• Nim游戏：异或和为0则先手必败，否则必胜
• 威佐夫博弈：约定\(a<b\)，\(a=\frac{\sqrt 5+1}{2}(a-b)\)时是奇异局势，先手必败。

有趣的式子

gcd有关

• \(\sum_{i=1}^{n}gcd(i,n)\)

  \(=\sum_{d=1}^{n}(d\sum_{i=1}^{n}[gcd(i,n)==d])\)

  \(=\sum_{d=1}^{n}d\varphi(\frac{n}{d})\)（当然到这步就可以\(O(n\sqrt n)\)做了）

  \(=\sum_{d=1}^{n}\frac{n}{d}\varphi(d)\)

  \(=\sum_{d=1}^{n}\frac{n}{d}d\prod_{p_i|d}\frac{p_i-1}{p_i}\)

  \(=n\sum_{d=1}^{n}\prod_{p_i|d}\frac{p_i-1}{p_i}\)

  考虑每个质数选或者不选的生成函数：\((b_i\frac{p_i-1}{p_i}+1)\)，其中\(b_i\)表示\(p_i\)的指数，含义为选了这个质数就会有\(b_i\)种指数

  所以最后答案就是\(n\prod_{p_i|n}(b_i\frac{p_i-1}{p_i}+1)\)

数论模板库

黑科技

\(long\ long\)相乘取模

ll mul(ll x,ll y,ll P) {return (x*y-(ll)((long double)x/P*y+0.5)*P+P)%P;}

子集枚举

\(0\)~\(2^n\)的子集个数之和是\(3^n\)（一个位置可以有三种情况：没被选到、选到但是没有被子集枚举到、选到并被枚举到）

以下可以快速枚举子集

for(int i=s;;i=(i-1)&s)
{
	cout<<i<<endl;
	if(!i) break;
}

高维前缀和

统计子集

for(int p=1;p<=1<<20;p<<=1)
	for(int i=0;i<1<<21;i++)
		if(i&p) f[i]+=f[i^p];

统计超集

for(int p=1;p<=1<<20;p<<=1)
	for(int i=0;i<1<<21;i++)
		if(!(i&p)) f[i]+=f[i|p];

各种线性筛

用接近线性的方法筛取一些函数，首先要先找到其值与质数的关联才能做

积性函数都能线性筛

线性筛质数

【模板】线性筛素数

void Get_pri()
{
	ispri[1]=1;
	for(int i=2;i<=N;i++)
	{
		if(!ispri[i]) pri[++tot]=i;
		for(int j=1;j<=tot&&i*pri[j]<=N;j++)
		{
			ispri[i*pri[j]]=1;
			if(i%pri[j]==0) break;
		}
	}
}

线性筛\(\mu\)

void Get_mu()
{
	ispri[1]=mu[1]=1;
	for(int i=2;i<=N;i++)
	{
		if(!ispri[i]) pri[++tot]=i,mu[i]=-1;
		for(int j=1;j<=tot&&i*pri[j]<=N;j++)
		{
			ispri[i*pri[j]]=1;
			if(i%pri[j]) mu[i*pri[j]]=-mu[i];
			else break;
		}
	}
}

线性筛\(\varphi\)

void Get_phi()
{
	ispri[1]=phi[1]=1;
	for(int i=2;i<=N;i++)
	{
		if(!ispri[i]) pri[++tot]=i,phi[i]=i-1;
		for(int j=1;j<=tot&&i*pri[j]<=N;j++)
    	{
			ispri[i*pri[j]]=1;
			if(i%pri[j]) phi[i*pri[j]]=phi[i]*(pri[j]-1);
			else {phi[i*pri[j]]=phi[i]*pri[j];break;}
		}
	}
}

高级算法

Exgcd

上文有讲用法，注意传入的时候要求都除以了\(gcd\)

void Exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
    if(!b) {x=1;y=0;return;}
    Exgcd(b,a%b,y,x);y-=a/b*x;
}

Lucas

【模板】卢卡斯定理

用于计算模数比较小的时候的组合数，公式看就是\(C(n,k)=C(n/p,k/p)*C(n\%p,k\%p)\)

然后继续递归，边界条件是\(k\)为\(0\)时答案是\(1\)

int C(int n,int k) {return 1ll*jc[n]*inv[k]%P*inv[n-k]%P;}
int Lucas(int n,int k) {return !k?1:1ll*Lucas(n/P,k/P)*C(n%P,k%P)%P;}
int pre()
{
    inv[0]=inv[1]=jc[0]=1;
    for(int i=2;i<P;i++) inv[i]=(P-1ll*P/i*inv[P%i]%P)%P;
    for(int i=1;i<P;i++) jc[i]=1ll*jc[i-1]*i%P,inv[i]=1ll*inv[i]*inv[i-1]%P;
}

EXCRT

【模板】扩展中国剩余定理（EXCRT）

合并同余方程，复杂度瓶颈在于exgcd

ll mul(ll x,ll y,ll p) {return (x*y-(ll)((long double)x/p*y+0.5)*p+p)%p;}
ll gcd(ll a,ll b) {return !b?a:gcd(b,a%b);}
void Exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y) {!b?(x=1,y=0):(Exgcd(b,a%b,y,x),y-=a/b*x);}
ll n,B1,P1,B2,P2;
int main()
{
	cin>>n>>P1>>B1;n--;
	while(n--)
	{
		cin>>P2>>B2;
		ll g=gcd(P1,P2),C=(B2-B1)/g,x,y,P;
		Exgcd(P1/g,P2/g,x,y); P=P1/g*P2;
		B1=(mul(mul(x,C,P),P1,P)+B1+P)%P; P1=P;
	}
	cout<<B1<<endl;
}

BSGS

[CQOI2018]破解D-H协议

\(g^a \equiv A(mod\ P)\)，给定\(A\)，求\(a\)。

方法：

• \(a=im-j\)所以\(g^{im}\equiv A*g^j\)，其中\(m=\sqrt P\)能够保证最优复杂度
• 然后从\(0\)到\(m\)枚举\(i\)，把\(g^{im}\)存进哈希表
• 暴力判断对于每一个\(j\)，哈希表里是否有\(A*g^j\)的值

复杂度\(O(\sqrt PlogP)\)

const int Mo=100003;
int g,A,a,b,P,n;
int ksm(int x,int k)
struct HashTable
{
	struct Line{int next,v1,v2;}a[Mo];
	int head[Mo],cnt;
	void reset() {memset(head,0,sizeof(head));cnt=0;}
	void Add(int p,int v1,int v2) {a[++cnt]=(Line){head[p],v1,v2};head[p]=cnt;}
	int Query(int x)
		{
			for(int i=head[x%Mo];i;i=a[i].next)
				if(a[i].v1==x) return a[i].v2;return -1;
		}
}Hash;
int BSGS(int g,int A,int P)
{
	int M=sqrt(P)+1;Hash.reset();
	for(int i=0,t=A;i<M;i++,t=1ll*t*g%P) Hash.Add(t%Mo,t,i);
	for(int i=1,bs=ksm(g,M),t=bs;i<=M;i++,t=1ll*t*bs%P)
		if(Hash.Query(t)!=-1) return i*M-Hash.Query(t);return -1;
}

高斯消元

【模板】高斯消元法

\(O(n^3)\)求解线性方程组。用线性基的方式实现

const int N=110;
const double eps=1e-7;
int n;
double F[N][N],A[N];
int main()
{
	cin>>n;
	for(int w=1;w<=n;w++)
	{
		for(int i=1;i<=n+1;i++) cin>>A[i];
		for(int i=1;i<=n;i++)
		{
			if(fabs(A[i])<eps) continue;
			if(fabs(F[i][i])<eps)
			{

				for(int j=i;j<=n+1;j++) F[i][j]=A[j]/A[i];
				F[i][i]=1;break;
			}
			else for(int j=i+1;j<=n+1;j++) A[j]-=F[i][j]*A[i];
		}
	}
	for(int i=1;i<=n;i++)
		if(fabs(F[i][i])<eps)
			return puts("No Solution"),0;
	for(int i=n;i>=1;i--)
		for(int j=i-1;j>=1;j--)
			F[j][n+1]-=F[j][i]*F[i][n+1],F[j][i]=0;
	for(int i=1;i<=n;i++) printf("%.2f\n",F[i][n+1]);
}

线性基

【模板】线性基

很方便地求解一个数集中能够异或出来的数

ll n,x,a[60],ans;
int main()
{
	for(cin>>n;n;n--)
	{
		cin>>x;
		for(int i=50;i>=0;i--)
			if(x&(1ll<<i))
			{
				if(!a[i]) {a[i]=x;break;}
				else x^=a[i];
			}
	}
	for(int i=50;i>=0;i--)
		if((ans^a[i])>ans) ans^=a[i];
	return cout<<ans<<endl,0;
}

裴蜀定理

【模板】裴蜀定理

问题：给定\(A_1,A_2...A_k\)，求\(A_1x_1+A_2x_2+...A_kx_k\)所能取到的最小值

结论：所有数的绝对值的\(gcd\)

int g,x,n;
int main()
{
	cin>>n;while(n--) cin>>x,g=__gcd(g,abs(x));
	cout<<g<<endl;
}

FFT

【模板】多项式乘法（FFT）

\(O(nlogn)\)求解两多项式卷积

//FFT
for(int i=1;i<l;i++) r[i]=(r[i>>1]>>1)|((i&1)<<tt);
for(int i=0;i<l;i++) w[i].rl=cos(Pi/l*i),w[i].im=sin(Pi/l*i);
void FFT(Complex *P,int op)
{
    for(int i=1;i<l;i++) if(r[i]>i) swap(P[i],P[r[i]]);
    for(int i=1;i<l;i<<=1)
        for(int j=0,p=i<<1;j<l;j+=p)
            for(int k=0;k<i;k++)
            {
                Complex W=w[l/i*k];W.im*=op;
                Complex X=P[j+k],Y=P[j+k+i]*W;
                P[j+k]=X+Y;P[j+k+i]=X-Y;
            }
}
for(int i=0;i<=m+n;i++) printf("%d ",(int)(A[i].rl/l+0.5));

拉格朗日插值

\(n-1\)次多项式带入\(x=k\)求值。

\[f(k)=\sum_{i=1}^{n}y[i]\prod_{j!=i}\frac{k-x[j]}{x[i]-x[j]}
\]

int Lagrange()
{
	cin>>n>>k;
	for(int i=1;i<=n;i++) cin>>x[i]>>y[i];
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		int fz=1,fm=1;
		for(int j=1;j<=n;j++)
			if(i!=j) fz=1ll*fz*(k-x[j])%P,fm=1ll*fm*(x[i]-x[j])%P;
		(ans+=1ll*y[i]*fz%P*ksm(fm,P-2)%P)%=P;
	}
	cout<<(ans+P)%P<<endl;
}

NTT

FWT

这两个一个用NTT代替，一个用高维前缀和。考到了话我直播CS！