【BZOJ4903/UOJ300】【CTSC2017】吉夫特

Description

　　

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​　　简述题意：给一个序列，询问有多少子序列满足其中不会出现\(a\choose b\)是偶数的情况，其中\(a\)在\(b\)前面。

　　

　　

　　

Solution

　　

　　首先探究组合数的奇偶性问题。我们用Lucas定理展开组合数，可以发现一些有趣的性质：

\[{a\choose b}={\lfloor\frac a 2 \rfloor\choose \lfloor \frac b2\rfloor}{a\mod2 \choose b\mod 2}
\]

　　后一个括号的值可以直接算：\({0\choose 0}={1\choose 0}={1\choose 1}=1,\;\;{0\choose 1}=0\)。这相当于\(a\)和\(b\)的二进制最末位的某种计算。

　　

　　而想象一下第一个括号递归计算的过程，实际上是移除了\(a\)和\(b\)的二进制最后一位继续计算。到底层时，其值必定是1。

　　

　　所以决定总体奇偶的地方在于第二个括号会不会取0。也就是会不会出现\(a\)末位为0，\(b\)末位为1的情况。

　　

　　这整一个过程的实质是什么？相当于比较\(a\)和\(b\)的每一位对应二进制。一旦出现\(a\)某一位为0，\(b\)对应位为1，则整体为偶数。否则整体为奇数。

　　

　　再进一步考虑，这种条件，相当于判断\(b\)的1位集合是否是\(a\)的1位集合的子集，则整体奇数，否则整体偶数。

　　

　　有趣的是，这种关系具有传递性：如果\(a\)包含\(b\)，那么\(a\)包含以\(b\)开头的合法子序列的每个元素。问题变得非常简单，只需要考虑从哪一个子序列的开头转移：设\(f[a]\)表示以\(a\)为开头的子序列个数。枚举\(a\)的子集\(b\)，如果\(b\)在\(a\)后面，则\(f[a]+=f[b]\)。

　　

　　总时间复杂度为\(\mathcal O(3^{\log_2n})\)。

　　

　　　　

　　

Code

　　

#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N=211990,S=233335,MOD=1e9+7;
int n,a[N],p[S],f[S];
inline int plu(int x,int y){return (x+y)%MOD;}
inline void upd(int &x,int y){x=plu(x,y);}
int main(){
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",a+i);
	int ans=-n;
	for(int i=n;i>=1;i--){
		f[a[i]]=1;
		for(int j=(a[i]-1)&a[i];j;j=(j-1)&a[i])
			upd(f[a[i]],f[j]);
		upd(ans,f[a[i]]);
	}
	printf("%d\n",plu(ans,MOD));
	return 0;
}