最小割 总结&&做题记录

模型要点:

1.一般适用于二取一问题或者01规划。

2.利用最小割=最大流,转化为最大流求之。

建议阅读胡伯涛的论文 <<最小割模型在信息学竞赛的应用>>,有精彩有序的证明和各种模型,不过我大概花了2个星期才把它弄懂...最小密度路径的改进算法那一块的推导前面部分有些问题,但后面是对的,结论也是对的,蛋疼了好久。。

相关题目：

1.太空飞行计划(网络流24题)

题目大意：

有一些实验和仪器,做每个实验有相应的报酬,但是需要买好相应的仪器(多个实验可以共用),仪器需要相应的钱.求最大利润。

题解：

经典的最大权闭合图模型。闭合图的概念是原图的一个点集,要求该点集的所有出边仍指向该点集合,最大权闭合图就是给每个点加一个权值,要求权值和最大。

转化一下,由最大变成最小。

S到正权值的点连边,容量为其权值,负权值的点到T连边，容量为其绝对值,然后原图中的边容量为inf,ans=所有正权和-最小割

2.方格取数(网络流24题)

题目大意:

矩阵中每个格子有一个数,要求取的格子不能相邻。要求取的数和最大。

题解：

这题让我学会了染色法,即把格子黑白染色,这样相邻的格子颜色一定不同,这样便转化为二分图的最大权独立集了。

最大权独立集的解法：

S到点的边和点到T的边容量为其权值,点与点之间的边容量为无穷大。这样对于任意一条从S到T得路径都对应相邻的两个点,割的作用就是二者取1。另外补充一个概念：像这样只有和ST相连的边的权值才不是无穷大的割叫做简单割。 这样求出的实际上是最小点权覆盖集,它和 最大权独立集是互补问题,具体证明可以用反证法。所以有最小点权覆盖集的权值+最大权独立集的权值=

总权值。

3.骑士共存(网络流24题)

题目大意:

在矩阵上放尽可能多的骑士,要求互不攻击。

题解：

同方格取数,染色+最大权独立集。

思考：

两个格子的颜色是否相同取决于 它们的曼哈顿距离的奇偶性。骑士的跳法和方格取数的规则都有两个格子颜色不同的性质。 那么如果改变骑士的跳法,每次只能沿着对角线跳一格。那么起点和中点的位置 颜色就相同了,就没法转化成二分图模型了。  我想到的做法仍然是染色,既然颜色不同的格子互相不影响,那么干脆把原矩阵拆成2个,黑白格子算.然后在分离出来的子矩阵里继续黑白染色执行之前的算法即可。

4.Friendship(poj 1815)

题目大意:

告诉你n个人之间的通话关系,然后要去掉尽可能少的人(不能去掉1号和n号),使得1号和n号不联通.人数相同要求字典序最小。

题解:

1.把人拆成2个点,连边容量为1,其他边容量为无穷大,求最小割就是答案。

2.要使字典序最小,可以用点贪心的思想,先求最小割,然后从2到n-1号依次枚举,把那个人暂时去掉,如果最小割减小了,那么永远把他去掉,否则把他加回去。

5.狼抓兔子(BZOJ 1001)

题目大意：

平面图最小割。

题解：

参考 <<浅析最大最小定理在信息学竞赛的应用>> by 周冬

先求平面图的对偶图（其实就是点和面相互转化）,这样原图的割都对应偶图中S-T的一条路径,具体看论文,dijkstra+heap求个最短路即可。

6.植物大战僵尸(BZOJ 1565,NOI 2009)

题目大意:

给出每个植物的攻击范围和吃掉后的获利(可能为负),如果一个植物所在的位置在另外一个未被吃掉的植物的攻击范围内,那么这个植物是无敌的。求僵尸的最大获利。

题解：

很明显的一个最大权闭合图的模型(取了A就必须取B),所以对于A能攻击B,连边<B,A>.但是不是裸的最大权闭合图(一开始没看出来,结果样例没跑出来).比如有2个植物AB，A在B的攻击范围内,B在A的攻击范围内,那么AB都无敌,而最大权闭合图的模型是有可能把AB都取来的。所以一开始应该消去所有"绝对无敌"的点,我起初的做法是做一次拓扑排序,没有被遍历到的点必定"绝对无敌",但是这样做考虑不全面。比如有一个环A->B->C->A , 然后又 A->D,即D可以攻击A,那显然D不是无敌的,但是拓扑排序并不会遍历到D。 看了网络上的题解,其实思路已经非常接近了,只要反向存边,这样有向边<A,B>的意义就变成A可以攻击B，然后做拓扑排序,没有被遍历到的点必定"绝对无敌"。

非常不错的一道题。

7.最大获利(bzoj 1497,NOI 2006)

题目大意:（据说是NOI第一道网络流的题目说）

有n个通讯站,m个用户,每个用户需要使用某2个通讯站,如果满足他的要求可以得到一些钱,但是造通讯站也要钱。所以要让赚的钱最多。

题解:

解法一:

经过上面这些题目的洗礼之后,应该不难想到可以构造二分图,把通讯站和用户都看成点。对于每个用户,连边到他需要的通讯站, 就变成一个最大权闭合图的模型了。理论上时间复杂度略高,因为点比较多,但是 dinic是只要敢写就会有奇迹的算法,所以 400ms+ AC了。

解法二:

参考胡伯涛的论文 <<最小割模型在信息学竞赛的应用>> 关于最大密度子图的改进算法,那个处理方法可以沿用过来。