【BZOJ】2823: [AHOI2012]信号塔

题意

给\(n\)个点，求一个能覆盖所有点的面积最小的圆。（\(n \le 50000\)）

分析

随机增量法

题解

理论上\(O(n^3)\)暴力，实际上加上随机化后期望是\(O(n)\)的。

算法大概就是：

假设我们已经得到了最小覆盖圆\(O\)，然后现在考虑假如第\(i\)个点进去。

如果第\(i\)个点在圆内或在圆上，则不需要更改。如果在圆外，显然最小覆盖圆要经过这个点。

于是又从头考虑\(1 \sim i-1\)这些点，我们只需要找到一个经过\(i\)点的覆盖所有点的最小覆盖圆。于是同前面一步一直类推下去。

直到出现了最小覆盖圆要经过三个点。于是三点确定一个圆就行了。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef double lf;
const int N=1000005;
const lf eps=1e-8;
int n;
struct ip {
	lf x, y;
	ip(lf _x=0, lf _y=0) : x(_x), y(_y) { }
	void scan() {
		scanf("%lf%lf", &x, &y);
	}
}a[N];
inline lf sqr(lf a) {
	return a*a;
}
inline lf dist(ip &a, ip &b) {
	return sqr(a.x-b.x)+sqr(a.y-b.y);
}
inline ip getO(ip &a, ip &b, ip &c) {
	lf x1=b.x-a.x, y1=b.y-a.y, z1=(sqr(x1)+sqr(y1))/2,
	   x2=c.x-a.x, y2=c.y-a.y, z2=(sqr(x2)+sqr(y2))/2,
	   s=x1*y2-x2*y1;
	if(s>-eps && s<eps) {
		if(x1*x2<-eps) {
			return ip((b.x+c.x)/2, (b.y+c.y)/2);
		}
		return ip((a.x+c.x)/2, (a.y+c.y)/2);
	}
	return ip(a.x+(z1*y2-z2*y1)/s, a.y+(x1*z2-x2*z1)/s);
}
inline int rand() {
	typedef long long ll;
	static ll mo=1e9+7, g=78125, now=2333;
	return (now*=g)%=mo;
}
int main() {
	scanf("%d", &n);
	for(int i=0; i<n; ++i) {
		a[i].scan();
		if(i) {
			swap(a[i], a[rand()%i]);
		}
	}
	ip o=a[0];
	lf r=0;
	for(int i=1; i<n; ++i) {
		if(dist(a[i], o)-r>eps) {
			o=a[i];
			r=0;
			for(int j=0; j<i; ++j) {
				if(dist(a[j], o)-r>eps) {
					o=ip((a[i].x+a[j].x)/2, (a[i].y+a[j].y)/2);
					r=dist(a[i], o);
					for(int k=0; k<j; ++k) {
						if(dist(a[k], o)-r>eps) {
							o=getO(a[i], a[j], a[k]);
							r=dist(a[k], o);
						}
					}
				}
			}
		}
	}
	printf("%.2f %.2f %.2f\n", o.x, o.y, sqrt(r));
	return 0;
}