【CF601C】Kleofáš and the n-thlon

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Description

　　大概是说\(m\)个人参加\(n\)场比赛，每场一人有一个排名，每场没有两个人排名相同，一个人最后的得分是\(n\)场比赛的排名相加，现在已知其中一个人（叫做\(A\)好了）\(n\)场比赛的排名，求最后按照得分降序排列后，这个人的期望排名

Solution

　　这题一开始有点无从下手（流下蒟蒻的泪水）

　　那。。冷静分析一波，首先我们要求的答案应该是：总分\(<=\)自己得分（记为\(score\)好了）的期望人数+1

　　然后因为除去\(A\)这个人，其他的\(m-1\)个人的情况是相同的，期望人数可以由：概率*(m-1)来得到

　　那所以我们现在就只考虑一个人（剩下的\(m-1\)个人中的一个），要求这个人总分\(<=score\)的概率

　　我们记\(f[i][j]\)表示这个人经过\(i\)场比赛之后，总分为\(j\)的概率，那么我们可以得到转移式子：

\[f[i][j]=\sum\limits_{k=1,k!=rank[i]}^{min(m,j)}f[i-1][j-k]
\]

　　这里的\(rank[i]\)表示的是\(A\)在第\(i\)场比赛中的排名，这个转移的具体意义就是枚举这个人在第\(i\)场的排名，然后上界为\(min(m,j)\)是因为只有\(m\)个人，\(k!=rank[i]\)是因为没有两个人在同一场排名相同，所以这个人的排名不能是\(A\)在这场的排名

　　具体怎么求的话，我们可以把这个东西写成一个前缀和的形式，我们多开一个数组\(sum[i][j]=\sum\limits_{k=0}^{j-1}f[i][j]\)，特别的所有的\(sum[i][0]=0\)

　　然后前缀和一下再把\(f[i][rank[i]]\)减掉就好了，最后的答案就是\(sum[n][score]*(m-1)+1\)

　　空间比较大所以可以考虑滚动数组，然后如果我没用long double的话。。好像会爆精度qwq可能是因为写挫了qwq（以及因为某种奇怪的原因cf上面好像。。直接printf一个long double会出锅qwq）

　　

　　代码大概长这个样子

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
const int N=110,MX=100010;
long double p[2][MX],sum[2][MX];//sum[x]=\sum_{i=0}{x-1} p[i]
int rk[N];
int n,m,score;

int main(){
#ifndef ONLINE_JUDGE
	freopen("a.in","r",stdin);
#endif
	scanf("%d%d",&n,&m);
	score=0;
	for (int i=1;i<=n;++i) scanf("%d",rk+i),score+=rk[i];
	int pre=0,now=1,l,r;
	p[0][0]=1;
	for (int i=1;i<=n*m;++i) sum[0][i]=1;
	if (m==1){printf("%d\n",1);return 0;}
	for (int i=1;i<=n;++i){
		memset(p[now],0,sizeof(p[now]));
		sum[now][0]=0; sum[now][1]=0;
		for (int j=1;j<=n*m+1;++j){
			l=max(0,j-m),r=j;
			p[now][j]+=(sum[pre][r]-sum[pre][l])/(1.0*(m-1));
			if (j-rk[i]>=0)
				p[now][j]-=p[pre][j-rk[i]]/(1.0*(m-1));
			sum[now][j+1]=sum[now][j]+p[now][j];
		}
		swap(now,pre);
	}
	printf("%.15Lf\n",sum[pre][score]*(m-1)+1.0);
}