Bellman-Ford算法实现带有负权边的单源最短路

Bellman-Ford算法

对于Dijkstra算法，不妨给出这样一个例子

graph LR
A((A)) -->|1| C((C))
A -->|2|D((D))
D -->|-4| C

根据Dijkstra算法的流程，选取A为源点。更新与A邻接的顶点，有C和D。选取已更新顶点中距离A的最小值，显然选择边权为1的边所连接的顶点C，并将C收入最短路集合S中，此时已经确定A->C的最短路为1。那么问题就出现了。

由于已经收入S中的顶点都视为最短路上的顶点且不可更改，因此由Dijkstra算法确定的A->C的最短路就是1。但是显然实际的最短路是A->D->C，花销为-2。

这时我们就需要使用别的方法来求出其最短路。比如Bellman-Ford以及其使用队列优化后的SPFA

Bellman-Ford的实现

Bellman-Ford算法实际上采用动态规划的思想。首先大前提是一个结论，对于有n个顶点的图，从源点到达其他任意顶点最多经过n-1条边。

定义\(dp[i][j]\)，代表最多经过\(i\)条边到达顶点\(j\)的最小花销

显然\(dp[0][j] = +\infty\)。

对于给定\(dp[i][j]\)，考虑其最小花销，两个方面。

1. 考虑从前一个顶点 k 到达顶点 j ，\(dp[i][j] = dp[i-1][k] + w[k->j]\)
2. 考虑不经过新的中间顶点(即维持原状) ，\(dp[i][j] = dp[i - 1][k]\)

状态转移方程为\(dp[i][j] = min(dp[i - 1][j] , dp[i - 1][k] + w[k ->j])\)

显然在状态转移时，更新本层的状态只用到了上一层的状态，不妨加一个滚动数组优化，使用一维数组即可。

最终的代码如下

配合例题853. 有边数限制的最短路 - AcWing题库

#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;
const int N = 1e5 + 20;
int n, m, k;
struct Edge
{
	int v;
	int u;
	int w;
}edges[N];
int dist[N],last[N];
void bellman_ford()
{
	memset(dist, 0x3f, sizeof dist);
	dist[1] = 0;
	for (int i = 0; i < k; i++)//这里k的含义就是经过不超过k条边的最短路
	{
		memcpy(last, dist, N); //last保存上一层的状态。
		for (auto x : edges)
		{
			dist[x.v] = min(dist[x.v], last[x.u] + x.w);//更新使用上一层的状态来更新
		}
	}
}
int main()
{
	cin >> n >> m >> k;
	for (int i = 0; i < m; i++)
	{
		int v, u, w;
		cin >> v >> u >> w;
		edges[i] = { v,u,w };
	}
	bellman_ford();
	if (dist[n] > 0x3f3f3f3f / 2)
		puts("impossible");
	else
		cout << dist[n];
	return 0;
}

这里使用last数组记录上一层的状态。可以看出，当要求求出最多经过k条边的最短路时，只可以使用bellman-ford来做。同时由于动态规划更新状态不需要有序，因此可以简化图，只存储边

使用Bellman-Ford判断负值圈

所谓负值圈就是一个权值和为负数的环，如下

flowchart LR
A((A)) -->|2| B((B))
B -->|-5| C((C))
C -->|1| A

-5 + 2 + 1 = -2，这就形成了一个负环。

存在负值圈的图一定无最短路

但是使用Bellman-Ford算法可以检测出图中是否有负值圈。

使用一个数组cnt[N]维护更新到第N个节点所经过的边数。由于从源点到达其他任意顶点最多经过n-1条边，但是对于有负值圈的图，由于总是会有更小的路径，因此其经过的边数会大于n。我们仅需要检测在某次更新中cnt[i]是否会大于n-1即可