CF1295D Same GCDs

前置知识：

• 辗转相除法
• 欧拉函数

首先，根据辗转相除法求 \(\gcd\) 的公式，可得 \(\gcd(a+x,m)=\gcd((a+x)\mod m,m)\)。

则题目可以转化为：求有多少 \(x\) 满足 \(\gcd(x,m)=\gcd(a,m)\)，设 \(\gcd(a,m)\) 等于定值 \(k\)。

等式两边同时除以 \(k\)，得 \(\gcd(\dfrac{x}{k},\dfrac{m}{k})=1\)。即求与 \(\dfrac{m}{k}\) 互质的数的个数，根据欧拉函数的定义知答案为 \(\varphi(\dfrac{m}{k})\)。

code:

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
int T,a,m;
signed main()
{
	scanf("%lld",&T);
	while(T--)
	{
		scanf("%lld%lld",&a,&m);
		int n=m/__gcd(a,m);
		int ans=n;
		for(int i=2;i*i<=n;i++)
		{
			if(n%i==0) ans=ans/i*(i-1);
			while(n%i==0) n/=i;
		}
		if(n>1) ans=ans/n*(n-1);
		cout<<ans<<endl;
	}
	return 0;
}