Lecture3.随机变量及其概率分布

1.随机变量的定义

2.随机变量的类型：

　　若随机变量X的可能取值是有限个或可列个, 则称X为离散型随机变量。 反之，则称X为非离散型随机变量。

　　若随机变量X的可能取值“连续”(“不间断”)，则称X 为连续型随机变量。

3.对随机变量X概率特性的刻画：

　　分布函数F

　　概率分布或分布率（离散型随机变量）P

　　概率密度(连续型随机变量)f

4.离散型随机变量的常见分布：

(1)  0-1分布(两点分布、伯努利分布)

　　P(X=k)=p^k(1-p)^k

(2) 二项分布(0-1分布是n为1的情况)

　　多重Bernoulli 试验中, X 表示事件A在n 次试 验中发生的次数, P(A) = p ,则有

　　P(k)=P(X=k)=Cn^kp^k(1-p)^n-k

　　并称X 服从参数为n, p的二项分布，记作

　　X~B(n,p)

(3) 几何分布

　　在多重伯努利试验中，A首次发生时的试验 次数可定义为一随机变量X，已知P(A)= p，记 q=1-p，则有

　　p_k=P{X=k}=q^k-1p

　　并称X 服从参数为p的几何分布

　　p1, p2, …构成一个公比为q的几何数列，故称

(4) Pascal分布(负二项分布)

　　多重伯努利试验中，第k次试验发生第r次A事件

　　P{X=k}=C_k-1^r-1p^rq^k-r

(5) 超几何分布

　　设一批产品总数N, 次品数M, 不放回抽样n个, 其中的次品数可定义为一随机变量X

　　P{X=k}=(C_M^kC_N-M^n-k)/C_Nⁿ,k=0,1,...,min{n,k}

(6) 泊松分布

　　若P(X=k)=e^-λλ^k/k!,k=0,1,2,...,其中λ>0是常数，则称X服从参数为λ的泊松(Poisson)分布，记作X~π(λ)或P(λ)

　　泊松定理：设X~B(n,p_n),n=1,2,...,又设np_n=λ>0,则对固定的k

　　lim(n->∞)C_n^kp_n^k(1-p_n)^n-k=e^-λλ^k/k!,k=0,1,...

　　超几何分布的极限分布是二项分布 二项分布的极限分布是Poisson 分布

　　稀有事件在大量重复试验中出现的次数服从泊松分布

例：设一个纺织女工要照顾800个纱锭.。在时间间隔T内, 每个纱锭出现断线的概率为0.005。求在时间间隔T内出现断线纱锭数不超过10的概率。

　　解：设出现断线的纱锭数为X，则

　　　　X~B(n,p)，其中n=800,p=0.005

　　　　∑_k=0¹⁰C_n^kp^kq^n-k≈∑_k=0¹⁰e^-λλ^k/k!=0.99716（查表得）

5.（*）连续随机变量的数学定义及其概率分布：

　　设X是随机变量, 若对于任意实数x存在一个非负可积函数f(x), 使得X的分布函数：

　　F(x)=∫_-∞^xf(t)dt,-∞<x<∞

　　则称X是连续随机变量，f(x)是它的概率密度函数，简称密度函数或概率密度

【连续随机变量的分布函数是连续函数】

　　性质：①f(x)≥0

　　　　    ②∫_-∞^+∞f(x)dx=F(+∞)=1

【常利用这两个性质检验一个函数能否作为连续型随机变量的密度函数】

　　P{a≤X≤b}=F(b)-F(a)=∫_a^bf(t)dt

　　f(x)的连续点处f(x)=F'(x),f(x)描述了X在x附件单位长度的区间内取值的概率（X落在该单位区间上的概率）　　

　　对于连续型随机变量X，有：

　　P(X=a)≤P(a-1/n＜X＜a+1/n)=∫_a-1/n^a+1/nf(x)dx

　　取任一常数的概率为零

　　P(X≤b)=P(x<b)=F(b)

　　P(X>a)=P(x≥a)=1-F(a)

　　P(a<X≤b)=P(a≤X≤b)=P(a<X<b)=P(a≤X<b)

　　讨论连续型随机变量落入某区间内的概率时，不必区分是否包括区间端点(即不考虑区间的开闭性)

说明：

（1）存在既非离散型也非连续型的随机变量（随机变量取值不可列同时分布函数不连续）

（2）连续型随机变量的密度不唯一, 可以任意改变密度在有限个点上的值. 今后不加区别

6.连续型随机变量常见分布

（1）均匀分布

　　若X的密度函数为f(x)=1/(b-a),a<x<b

　　　　　　　　　　　　0,其他

　　称X服从区间(a, b)上的均匀分布,或称X服从参数为a, b的均匀分布

　　记作X~U(a,b)

（2）指数分布

　　若X的密度函数为f(x)=λe^-λx，x≥0，λ>0为常数

　　　　　　　　　　　　0，其它

　　则称X服从参数为λ的指数分布

　　记作X~E(λ)

　　指数分布常作为各种寿命分布的近似

例：设某元件使用时间t后, 在Δt内失效的概率为λΔt+o(Δt)，λ为一常数. 假定元件寿命为0的概率等于0, 求元件寿命T的分布函数.

　　解：f(0)=0,F(0)=0

　　　　(F(t+Δt)-F(t))/(1-F(t))=P(t<X<t+Δt)/P(X>t)=λΔt+o(Δt)

　　　　f(t)=F'(t)=(F(t+Δt)-F(t))/Δt=(λ+o(Δt)/Δt)(1-F(t)),t>0

　　　　dF(t)/dt=(λ+o(Δt)/Δt)(1-F(t))

　　　　dF(t)/(1-F(t))=(λ+o(Δt)/Δt)dt

　　　　-ln(1-F(t))=(λ+o(Δt)/Δt)t

　　　　1-F(t)=e^-λt+C

　　　　∵F(0)=0

　　　　∴C=0,F(t)=1-e^-λt,t>0

　　　　故F(t)=1-e^-λt,t>0

　　　　　　　　0,t≤0

　　指数分布的“无记忆性”(“永远年轻”，可证)

　　若X~E(λ),则

　　　　P(X>s+t|X>s)=P(X>t)　　　　

（3）正态分布

　　密度函数：$\frac_{\sqrt{2\pi}}^{1}e^{-\frac_{2\sigma^2}^{(x-\mu)^2}}$

　　μ-位置参数，σ-形状参数

　　分布函数：

　　标准正态分布是μ = 0,σ =1的正态分布

　　非标准正太分布转正态分布：P{A<X<B}=F(B)-F(A)=Φ((B-μ)/σ)-Φ((A-μ)/σ)

　　常用性质：

　　　　①Φ(-x)=1-Φ(x)

　　　　②x=μ时，f(x)取最大值1/(√2π)σ

　　　　③x=μ±σ时，f(x)有拐点

　　　　④3σ法则

　　分布表：https://wenku.baidu.com/view/9cd84f7e49d7c1c708a1284ac850ad02de800784.html

（4）Γ分布

　　定义：

　　记作X~Γ(α,β)

　　性质：

7.随机变量的函数及其分布

　　设X是一随机变量，g(x)是一个普通实函数，则 Y＝g(X)构成随机变量的函数。通常，Y也是一个随机变量。

　　通过X的分布来求Y的分布函数

例：已知Y=aX+b,f_X(x),求f_Y(y)

　　解：①a>0时

　　　　F_Y(y)=P{Y≤y}=P{aX+b≤y}=P{X≤(y-b)/a}=F_X((y-b)/a)

　　　　f_Y(y)=F_Y'(y)=f_X((y-b)/a)*((y-b)/a)'=f_X((y-b)/a)/a

　　　   ②a<0时

　　　　F_Y(y)=P{Y≤y}=P{aX+b≤y}=P{X≥(y-b)/a}=1-F_X((y-b)/a)

　　　　f_Y(y)=-f_X((y-b)/a)/a

　　综上，f_Y(y)=f_X((y-b)/a)/|a|