HDU5324 cqd分治

HDU5324 cqd分治

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给你两个长度相同数列，求第一个不上升，第二个不下降的最长子序列长度。
这里要求的子序列对第一个和第二个来说是相同的。即如果你在第一个序列里选了第i个，那么在第二个序列里也要选第i个。

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首先我们考虑怎么解决只有一个序列的情况。
这就是最普通的最长不下降子序列。考虑\(O(nlogn)\)的做法。
首先仍然是DP，$f[i]=\max(f[j]+1) , j < i $ & $ a_j < a_i \(. 我们需要考虑怎么在\)logn\(时间内求出\)\max(f[j]+1)$.这很容易。对于i,我们建立一颗权值线段树，每次单点修改，求区间最大值即可。（可以用zkw）

那么我们考虑如何解决这个二维问题。首先DP方程还是这样。
\[f[i]=\max(f[j]+1) , j < i , a_j > a_i , b_j<b_i \]
问题在于如果我们想用\(log\)的复杂度维护这个\(\max(f[j]+1)\)，我们就需要一个二维线段树，这是非常令人难过的。因为首先二维线段树不好写不好调，而且更关键的是很容易MLE（或者TLE？）。
那么这类二维数据结构问题都可以考虑使用cdq分治。
cdq分治的基本思想就是把所有询问离线统一计算，这样我们就可以在计算的时候进行分治。
其实多数情况下就是把所有位置上的答案都计算出来。
所以cqd分治的第一个条件就是允许离线。

以这道题为例，我们考虑计算所有的\(f[i]\).如果用\(gao(1,n)\)表示计算\(f[1]\)~\(f[n]\),那么\(gao(1,n)\)就可以分成\(gao(1,n/2) , gao(n/2+1,n)\),这样我们就可以分治了。
当然直接分治是不对的，因为一个\(f[i]\)是受到他之前所有的\(f[j]\)的影响的。这在\(gao(1,n/2)\)时没有问题，但是在\(gao(n/2+1)\)时就会少考虑前一半对这一半的贡献。
那么很好办，cqd分治和普通分治的主要区别就是我们可以在\(gao(1,n/2)\)之后用\(O(n)或者O(nlogn)\)时间把前一半已经计算出来的\(f\)值对后一半的影响加进去。这样总体复杂度就是\(O(nlogn)\)或者\(O(nlog^2n)\)。具体复杂度取决于合并时的复杂度。
注意这里有cdq分治成立的第二个条件，那就是前一半对后一半的贡献是可以独立计算的，而且后一半不会影响前一半。否则没办法合并。

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对于这道题而言，我们\(gao(1,n)\)的时候，先计算前一半，然后把前一半和后一半的数分别排序，对于后一半每个数，把前一半里比它小的插入线段树中，然后查询权值线段树中的最大值即可。合并复杂度\(O(nlogn)\)，总体复杂度\(O(nlog^2n)\)，和二维线段树一样，但是好写多了。
另外这道题要求答案字典序最小，那么DP的时候倒序做就可以了。（想一想就懂了）

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实际上cdq分治就是在一个维度上改变了求解问题的顺序，从而避免了对整体使用二维数据结构。