P7603 [THUPC2021] 鬼街（减半警报器模板）

前言

这是一个由 lxl 大佬提出的神奇 trick，第一次省选集训的时候有点颓，听完了没写。刚好明天又要讲这个不如写篇题解。

还是，我太弱了；所以又是研究一晚上才写出来，所以还是吧我对这道题的理解讲讲。

正文

何为折半报警器

按照 lxl 的 ppt 上的话来说是这样的：

这种题目一般是你需要维护一个数据结构，初始给定了一些范围，每个范围有权值。每次把包含一个点的所有范围都减去 $x$。你需要维护每个范围被减到 $<0$ 的最早时刻。

图一：

图二：

具象一点说，当每个检测的区间是由多个独立子区间构成，多个区间可能用到相同的子区间，我们就有可能用到他。

多个独立子区间构成就如图一，我们可以不重不漏的吧一个区间分成多个子区间。

个区间可能用到相同的子区间，也就是说我们存子区间的时候可以讲重复子区间可以同时存在一起，如果按照图像来说就可以相当于（图二）把子区间平移。

由于线段的值是子区间的和，呢么一定有至少一个子区间是大于 $\frac{Sum}{Size}$ 的，如果有一个子区间被将为 $0$ 一下，我们就将线段重新平分。

整体而言并不是讲所有区间实时更新，而是在子区间被将为 $0$ 时再对改线段重新同步。

本题如何实现

读完题目会发现，这道题就符合了所说的“当每个检测的区间是由多个独立子区间构成，多个区间可能用到相同的子区间”。我们可以吧每个质因子作为一个子区间维护。

具体而言，我们首先为了将数质因数分解，需要先筛出素数。

后对于增加报警器的操作，因为报警器只能检测安放后的次数，又为了不影响前面的子区间，我们考虑改变本段。考虑将本段的子段的累计先赋值成当前已经记录的数量，再把目标加上这个值，我们就优雅的记录了这个数。而在区间求和的时候就可以得到一种优雅的写法。

对于每次同步我们可以用如下代码。

val[k] -= sum[k] - tmp[k] , tmp[k] = sum[k]

即每次把还未同步的部分加到总和里，再同步数量。

对于每一次闹鬼，就是把输入数的所有质因子（也就是一个子区间）减去上权值，如果这时此区间将为 $0$ 及以下，则就可能得到答案，或者需要重新分配子区间的值。

当然这里不用全部枚举，我们可以用个 ds 维护一下使要求的数量从小到大排序，当出现不成立时后面的一定不成立就可以退出了。

赋值时有一个细节，我们可以直接赋值上取整。

证明：

设：一个数 $x$ 有 $k$ 个质因子权值为 $sum$。

若 $x \mid k$，

每个质因子权值为 $ \frac {sum} {k}$，

根据鸽笼原理,最小的最大值为 $\frac {sum} {k}$ 符合。

若 $x \nmid k$，

每个质因子权值最大为 $\frac {sum} {k + 1}$，

根据鸽笼原理,最小的最大值为 $\frac {sum} {k + 1}$ 符合。

另外不要忘了“真实的 $y = y' \bigoplus LastAns$”。

这样你就可以把这道题切掉了。

Code

本质和第一篇题解没有区别，但是传送门[Link]。