NOI2015 Day2

NOI2015 Day2

荷马史诗

题目描述：给出\(n\)个数，要求\(n\)个\(k\)进制数来对应这\(k\)个数（允许有前导零），\(n\)个\(k\)进制数互不为前缀，求\(n\)个数乘以对应的\(k\)进制数长度总和最小值，并求最小值下\(k\)进制数的最长的最小值。

solution:
\(k\)叉哈夫曼树，当\(n \not \equiv 1 (mod (k-1))\)时，补零时条件成立，然后类比二叉的做法即可。

时间复杂度：\(O(nlogn)\)

品酒大会

题目描述：给出一个字符串，第\(i\)个字符对应的值为\(a[i]\), 对于\(i \in [0, n)\),求最长公共前缀大于等于\(i\)的字串对个数，并求这些字符串对开头对应值相乘最大值。

solution:
后缀数组求出\(Height[i]\),根据\(sa\)对字符串重标号，\(Height[i]\)就是第\(i\)个字符串与第\(i-1\)个字符串的最长公共前缀，枚举最长公共前缀\(len\),对于\(Height[i]=len\)的\(i\)，用并查集链接\(i\)与\(i-1\)，并更新答案与最大值。注意：字符对应值可能是负值，所以还要记最小值。

时间复杂度：\(O(n)\)或\(O(nlogn)\)

小园丁与老司机

题目描述：给出平面上的\(n\)个点，点的纵坐标均大于\(0\)，从原点出发，每次从左、右、上、左上\(45^{\circ}\)、右上\(45^{\circ}\)
选择一个方向（该方向必须有一个点），走到该方向最近的点，然后继续选择方向走，如此类推，直到不能走为止。求最多能走多少个点（不计原点），并输出一条可行路径。找出所有最长路径上的非左右方向的边，求覆盖所有边的最少路径数（路径只能包含非左右方向的边）

solution：
预处理出每个点在非左右方向离该点最近的点，然后以纵坐标为第一关键字，横坐标为第二关键字排序。以纵坐标为阶段做dp，同层的也做dp。这里只讲同层如何dp。
枚举从哪一个点向上走(\(i\))，假设之前在下一层往上走到\(j\)，如果\(x_j<x_i\)，那么与\(i\)同层的，且在\(i\)左边的都可以到达（从\(j\)走到同层的最左边，然后走到\(j+1\)，再走到\(i\)），如果\(x_i<x_j\)，那么与\(i\)同层的，且在\(i\)右边的都可以到达（从\(j\)走到同层的最右边，然后走到\(j-1\),再走到\(i\)），那么正向做一次，反向做一次就可以知道最大值了，同时记住方案。
根据方案将非左右方向的边找出，并构出新图，因为有可能多条最长路径同时经过某些边，因此每条边的下界为\(1\)，做一次最小流即可。