CCPC-Wannafly Winter Camp Day7 D---二次函数【数论】【构造】

题意：

有三个二次函数，分别是$x^2 + a_1x + b_1$, $x^2 + a_2x + b_2$, $x^2 + a_3x + b_3$

现在要找三个整数$x_1, x_2, x_3$， 使得三个函数值中至少有两个相等。

思路：

主要的难点是要找三个整数。

Camp时候洪老师说的平移啥啥的，理解不了......

看了网上另一个题解的思路。

假设两个二次函数相等的函数值是$y$， 并假设是第一个和第二个相等

那么我们可以知道$x_1 =- \frac{a_1 + \sqrt{a_1^2 - 4(b_1 - y)}}{2}, x_2 =- \frac{a_2 + \sqrt{a_2^2 - 4(b_2 - y)}}{2}$

令$T^2 = a_1^2 - 4(b_1 - y), t^2 = a_2^2 - 4(b_2 - y)$

可以得到$T^2 - t^2 = a_1^2 - 4b_1 - a_2^2 + 4b_2 = (T+t)(T-t)$

于是我们进行因式分解，枚举$T^2-t^2$的因子，判断得到的$x_1, x_2$是否为整数。

对于$T^2-t^2$为0和1时进行特判就行了。

对于每一对$a$和$b$，判断是否有这样两个整数解。

 #include<iostream>
 #include<cstdio>
 #include<algorithm>
 #include<cstring>
 #include<queue>
 #include<stack>
 #include<set>
 #include<vector>
 #include<cmath>

 using namespace std;
 typedef long long LL;

 LL a[], b[];
 int t;
 LL ans1, ans2;

 bool solve(LL a1, LL b1, LL a2, LL b2)
 {
     int sub = abs(a1 * a1 -  * b1 - a2 * a2 +  * b2);
     if(sub == ){
         if((a1 - a2) %  == ){
             ans1 = ;
             ans2 = (a1 - a2) / ;
             return true;
         }
         else return false;
     }
     else if(sub == ){
         if(a1 %  != a2 % ){
             if(a1 * a1 -  * b1 > a2 * a2 -  * b2 && a1 % ){
                 ans1 = ( - a1) / ;
                 ans2 = -a2 / ;
                 return true;
             }
             else if(a1 * a1 -  * b1 < a2 * a2 -  * b2 && a2 % ){
                 ans2 = ( - a2) / ;
                 ans1 = -a1 / ;
                 return true;
             }
             else return false;
         }
         return false;
     }
     else{
         for(int i = ; i * i < sub; i++){
             if(!(sub % i) && !((sub / i + i) % ) && !((i - sub / i) % )){
                 LL T = (sub / i + i) / ;
                 LL t = (i - sub / i) / ;
                 if(a1 * a1 -  * b1 < a2 * a2 -  * b2)swap(T, t);
                 if(!((T + a1) % ) && !((t + a2) % )){
                     ans1 = -(a1 + T) / ;
                     ans2 = -(a2 + t) / ;
                     return true;
                 }
             }
         }
         return false;
     }
 }

 void work()
 {
     for(int i = ; i < ; i++){
         for(int j = i + ; j < ; j++){
             if(solve(a[i], b[i], a[j], b[j])){
                 if(i == )
                 {
                     printf("%lld %lld %lld\n", ans1, j == ?ans2:, j==?:ans2);
                     //return;
                 }
                 else{
                     printf("0 %lld %lld\n", ans1, ans2);
                     //return ;
                 }
                 return;
             }
         }
     }
 }

 int main()
 {
     scanf("%d", &t);
     while(t--){
         for(int i = ; i < ; i++){
             scanf("%lld%lld", &a[i], &b[i]);
         }
         work();
     }    

     return ;
 }