BZOJ2303 [Apio2011]方格染色 并查集

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题意概括

　　现在有一个N*M矩阵，矩阵上只能填数字0或1 
现在矩阵里已经有一些格子被填写了数字，询问是否存在一种填写方案使得「任意一个2*2的矩阵异或和为1」，输出方案总数

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题解

　　我们发现当我们已经确定(1,1)的颜色为1的时候：

　　我们知道c(i,j)。

　　那么如果i和j都是偶数，那么就有c(1,1)^c(i,1)^c(1,j)^c(i,j)==1

　　否则就是0。

　　因为假设s(i,j)表示以i,j为左上角的2*2矩阵异或起来，那么：

　　S(1,1)^S(1,2)^...^S(1,j)^S(2,1)^S(2,2)^...^S(i-1,j-1)=c(1,1)^c(i,1)^c(1,j)^c(i,j)。

　　而左式就等于(i-1)*(j-1)个1异或。

　　这是一个好东西。

　　然后我们枚举(1,1)的颜色，然后对于每一个C(i,j)就可以得到一组C(i,1)和C(1,j)的关系。

　　但是当i=1或者j=1的时候，是得到一个C(i,1)或者C(1,j)的答案。

　　最后得到关系之后，只需要看看是否矛盾。

　　然后统计连通块数，就是自由元的总数，每一个自由元有2种取值，于是答案显而易见。

　　注意输入有i=j=1的情况要特判。

　　细节有点多。

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代码

#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <cstdlib>
using namespace std;
const int N=1000005,mod=1e9;
int n,m,ad,k,v[N*4],fa[N*4];
struct color{
	int a,b,c;
}co[N];
int Turn(int a,int b){
	return a==1?(b-1):(a-1+m-1);
}
int getf(int k){
	return fa[k]==k?k:fa[k]=getf(fa[k]);
}
int solve(){
	memset(v,-1,sizeof v);
	for (int i=1;i<=ad*2;i++)
		fa[i]=i;
	for (int i=1;i<=k;i++){
		int a=co[i].a,b=co[i].b,c=co[i].c;
		if (a==1&&b==1)
			continue;
		if (a==1||b==1){
			v[Turn(a,b)]=c,v[Turn(a,b)+ad]=c^1;
			continue;
		}
		int A=Turn(a,1),B=Turn(1,b);
		int res=(!(a&1)&&!(b&1))^c;
		if (res){
			if (getf(A)==getf(B))
				return 0;
			fa[getf(A)]=getf(B+ad);
			fa[getf(B)]=getf(A+ad);
		}
		else {
			if (getf(A)==getf(B+ad))
				return 0;
			fa[getf(A)]=getf(B);
			fa[getf(A+ad)]=getf(B+ad);
		}
	}
	for (int i=1;i<=ad*2;i++){
		if (v[i]==-1)
			continue;
		if (v[getf(i)]==-1)
			v[getf(i)]=v[i];
		else if (v[getf(i)]!=v[i])
			return 0;
	}
	int res=1,ans=0;
	for (int i=1;i<=ad*2;i++)
		if (getf(i)==i&&v[i]==-1)
			ans++;
	for (ans>>=1;ans--;)
		res=res*2%mod;
	return res;
}
int main(){
	scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);
	ad=n+m-2;
	int flag=-1;
	for (int i=1;i<=k;i++){
		scanf("%d%d%d",&co[i].a,&co[i].b,&co[i].c);
		if (co[i].a==1&&co[i].b==1)
			flag=co[i].c;
	}
	int ans1=solve();
	for (int i=1;i<=k;i++)
		if (co[i].a>1&&co[i].b>1)
			co[i].c^=1;
	int ans2=solve();
	int ans=0;
	if (flag==-1)
		ans=(ans1+ans2)%mod;
	else
		ans=flag?ans2:ans1;
	printf("%d",ans);
	return 0;
}