Pollard Rho大质数分解学习笔记

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问题

给定n，要求对n质因数分解

普通的试除法已经不能应用于大整数了，我们需要更快的算法

流程

大概就是找出\(n=c*d\)

如果\(c\)是素数，结束，不是继续递归处理。

具体一点的话

1.先对n进行\(miller\_rabin\)测试，是素数就直接结束了

如果不会的话，看我前篇博客的介绍吧

为何还要多写个\(miller\_rabin\)，他没有非平凡因子，他要保证复杂度？

2.随机基底a和c，生成序列\(x_{0}=a,x_{i}=x_{i-1}^{2}+c(mod n)\),可以认为\({x_{i}}\)是有循环节的随机序列(rho就是密度的那个符号，长得很像是不是)

3.若出现\((x_{i}-x_{2i+1},n)≠1\)，停止算法，令\(d=（x_{i}-x_{2i+1},n）\),若\(d≠n\)，那d就是n的非平凡因子，n被分为d和n/d相乘的结果，递归下去继续分解

4.若d=n，重选基底a和c，重复过程（出现循环了）

刘汝佳先生说：想象一下，假设有两个小孩子在一个“可以无限向前跑”的跑道上赛跑，同时出发。但其中一个小孩的速度是另一个的两倍。如果跑道是直的，跑得快的小孩永远在前面；但如果跑道有环，则跑得快的小孩将“追上”跑得慢的小孩。

算法复杂度\(O(n^{ \frac {1}{4} }*pro)\)

具体的我也不知道咋证

代码

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
const int maxn = 10005;
typedef long long LL;

LL fpm(LL a, LL k, LL p) //calc a^k % p
{
	LL res = 1;
	for (; k ; k >>= 1, a = a * a % p)
		if (k & 1) res = a * res % p;
	return res;
}

int prime[] = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29};
bool detective(LL a, LL n)
{
	int r = 0; LL d = n - 1; // n - 1 = 2 ^ r * d
	while (d % 2 == 0) d >>= 1, ++r;
	for (LL x = fpm(a, d, n), y; r ; r--)
	{
		y = x * x % n;
		if (y == 1)
		{
			if (x == 1) return true;
			if (x == n - 1) return true;
			return false;
		}
		x = y;
	}
	return false;
}
bool miller_rabin(LL n)
{
	for (int i = 0; i < 10; i++)
	{
		if (n == prime[i]) return true;
		if (n % prime[i] == 0) return false;
		if (!detective(prime[i], n)) return false;
	}
	return true;
}

vector<LL> res;
int irand() {return rand() << 15 ^ rand();}
LL irand(LL n) {return (((LL) irand()) << 30 ^ irand()) % n;}
LL mul(LL a, LL b, LL n) {return (a * b - (LL) ((long double) a * b / n + 1e-9) * n) % n;}
LL rho(LL n)
{
	LL a = irand(n), c = irand(n);
	LL x = a, y = (mul(a, a, n) + c) % n;
	LL z = x > y ? x - y: y - x;
	LL d = __gcd(z, n);
	while (d == 1)
	{
		x = (mul(x, x, n) + c) % n;
		y = (mul(y, y, n) + c) % n;
		y = (mul(y, y, n) + c) % n;
		z = x > y ? x - y: y - x;
		d = __gcd(z, n);
	}
	return d;
}
void pollard_rho(LL n)
{
	if (n == 1) return ;
	if (miller_rabin(n)) {res.push_back(n); return ;}
	LL d = n; while (d == n) d = rho(n);
	pollard_rho(d); pollard_rho(n / d);
}
int main()
{
	pollard_rho(997 * 131ll * 6ll * 50ll * 79ll * 97 * 12132);
	for (auto x: res) cerr << x << " " ;
}

生日悖论

（当然，我们这里的一年是稳定365天，和我们不一样）

23个人中至少有一对两个人生日相同的概率在一半以上，感觉不可思议吧，与我们自我感觉的有很大差异,其实，当我们看到“有人生日相同”时，下意识地会用“与我生日相同”去推测，直觉就让我们直觉产生了“两人生日相同”概率很小。理性计算的结果与日常经验产生了如此明显的矛盾，所以叫做“生日悖论”。

可以说，直觉没有错，错的是我们没有正确地去理解问题。因此，当我们剥开直觉的谎言，看清事实的那一刻，才会觉得如此不可思议。

我们的问题是“任意两个人的生日相同的概率”（所以要理性分析呀qwq）。

我们讨论两个人生日相同的情况。

总概率是365*365，生日不同的情况\(365*364\)

那生日相同的情况就是 \(\frac{365*365-365*364}{365*365}=\frac{1}{365}\)

四个人同理\(\frac{365^4-\frac{365!}{361!}}{365^4}\)

再大一点可以用long double 计算，可以算出23人时概率就大于一半了

end

鸣谢