[BZOJ2036]聪明的阿卑多

试题描述

也许你从没听说过阿卑多，但你一定知道他爷爷的爷爷的爷爷，那就是聪明绝顶的阿凡提先生。是的，阿卑多也是个聪明的小孩。一天，阿卑多骑着他的小毛驴，在小镇上晃悠，正好遇上了小巴依——那个自以为是的小财主。小巴依正在炫耀他的金币： “你们见过这样的金币么？这可不是一般的金币，你看它们多大多重啊！最主要的是，它们每个上面都刻有我的名字和一个编号，是独一无二的！看看，从我出生开始，每 $2$ 个月，爸爸便给我 $1$ 个特做的大金币，并从 $1$ 开始编号，现在我已经有 $60$ 枚了，哈哈……” 小巴依见了阿卑多，于是便想考一考他：“阿卑多，听说你是最聪明的。看见我每个金币上的数字了吗？你现在拿取一半的金币，并能用你拿的若干金币上的数的和表示我的任意一枚金币上的数。如果你能办到，那么就奖你一枚金币；如果不能，就给我做三年长工好了。” 阿卑多想了一想，说：“我可以只拿 $\frac{1}{10}$ 就办到，不过如果我办到了，你就得分一半金币给我。” $\frac{1}{10}$？小巴依心想，你准备给我当长工好了。于是阿卑多开始取金币…… 自然，阿卑多出色的完成了任务，得到了 $30$ 枚金币，同样的，他把这些金币都分给了穷人们。给你的任务就不同了。

输入

一个数 $n(1 \le n \le 1000$ 表示金币枚数（金币上的数分别为 $1$ 到 $n$）

输出

两个数，阿卑多最少要拿的金币数以及不同的方案数。

输入示例

输出示例

3 2

数据规模及约定

见“输入”

题解

首先第一问显然可以贪心做（受二进制的启发）。

第二问其实也是基于这个思想，我们从小到大依次选数，如果已经选的数之和加 $1$ 大于等于当前要选的数，就可以选这个数。第一问我们已经解决了，步数肯定不会超过 $logn$，所以可以将它设进 dp 状态里：$f(i, s, m)$ 表示已选 $i$ 个数，当前总和是 $s$，选出的所有数都严格小于 $m$ 的方案数，然后就可以 dp 啦（注意 $s$ 在超过 $n$ 的时候和 $n$ 取 $min$ 就好了）。

#include <iostream>

#include <cstdio>

#include <cstdlib>

#include <cstring>

#include <cctype>

#include <algorithm>

using namespace std;

#define rep(i, s, t) for(int i = (s); i <= (t); i++)

#define dwn(i, s, t) for(int i = (s); i >= (t); i--)

int read() {

	int x = 0, f = 1; char c = getchar();

	while(!isdigit(c)){ if(c == '-') f = -1; c = getchar(); }

	while(isdigit(c)){ x = x * 10 + c - '0'; c = getchar(); }

	return x * f;

}

#define maxn 1010

#define maxlog 11

int n, step, f[maxlog][maxn][maxn];

int main() {

	n = read();

	int sum = 0;

	rep(i, 1, n) if(sum < i) sum += i, step++;

	printf("%d ", step);

	f[0][0][1] = 1;

	rep(i, 0, step) rep(s, 0, n) rep(mx, 1, n) if(f[i][s][mx]) {

		if(mx <= s + 1 && i < step) f[i+1][min(s+mx,n)][mx+1] += f[i][s][mx];

		f[i][s][mx+1] += f[i][s][mx];

	}

	printf("%d\n", f[step][n][n+1]);

	return 0;

}