二分答案 & 洛谷 P2678 跳石头

首先让我们先学一下二分答案这个东西...

 

二分答案，肯定与二分有关，还与可能是答案的东西有关...

二分答案的准确定义：

二分答案是指在答案具有单调性的前提下，利用二分的思想枚举答案，将求解问题转化为验证结果。

 

大体流程：

首先需要估计答案的上下界，然后不断取区间中点进行验证（这就要求答案的验证应当简单可行），并通过验证结果不断更新答案区间，最终得到答案。不难看出，朴素的枚举验证时间复杂度是O(n)的，而二分可以做到O(logn)

 

二分答案的特征：

1.答案具有单调性

2.二分答案的问题往往有固定的问法，比如：令最大值最小（最小值最大），求满足条件的最大（小）值等。

 

二分答案的写法：

1.在单调递增序列a中查找 >= x 的数中最小的一个（即x 或 x的后继）：

 while (l < r) {
     int mid = (l + r) >> ;
     if (a[mid] >= x) r = mid;
     else l = mid + ;
 }
 return a[l];

后继

2.在单调递增序列a中查找 <= x 的数中最大的一个（即x 或 x的前驱）：

 while (l < r) {
     int mid = (l + r + ) >> ;
     if (a[mid] <= x) l = mid;
     else r = mid - ;
 }
 return a[l];

前驱

关于这两段代码的解释（见下图）：

下面这是一个二分答案的模板题（2019 pdoi T3）：

https://www.luogu.org/problemnew/show/P2678

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这是一个二分答案的模板，然后二分答案的题的细节实在是太多了！！！（然后就一直wa ,无法列举..

（在不知道有二分答案这个东西之前发现自己的思路完全与其相反，自己只是暴力地解出答案，而不是二分枚举答案

二分答案的核心上面也都讲了，下面直接是AC代码外加部分细节解释：

 #include <cstdio>

 inline int get_num(){
     int num = ;
     char c = getchar();
     while (c < '' || c > '') c = getchar();
     while (c >= '' && c <= '')
         num = num *  + c - '', c = getchar();
     return num;
 }//快读 

 const int maxn = 5e4 + ;

 int stone[maxn], n, m, L;

 inline int check(int x){
     int cnt = , last = ;
     for(int i = ; i <= n; i++){
         if(stone[i] - stone[last] < x) cnt++;
         //留着这块石头发现最短路径小于mid，则要删去
         else last = i;//留着则更新上一块石头坐标
     }
     if(cnt <= m) return ;//是否合法
     else return ;
 }//检查是否合法 

 int main(){
     L = get_num(), n = get_num(), m = get_num();
     for(int i = ; i <= n; i++) stone[i] = get_num();
     int l = , r = L;//@1
     while(l < r){
         int mid = (l + r + ) >> ;//@2
         if(check(mid)) l = mid;
         else r = mid - ;
     }//二分答案的核心
     printf("%d", l);
     return ;
 }

AC代码

解释：

@1：将r先设到不可能越界的一个位置，然后再进行二分，保证答案在[L,R]这个区间中

@2：>>1 和 / 2 都是除以二，但是 >> 1 是向下取整， / 2是向零取整，为了避免二分答案中出现负数。这行如果写成这种形式，那么r就直接赋值为L，不要赋值L+1