[bzoj3132]上帝造题的七分钟——二维树状数组

题目大意

你需要实现一种数据结构，支援以下操作。

1. 给一个矩阵的子矩阵的所有元素同时加一个数。
2. 计算子矩阵和。

题解

一看这个题，我就首先想到用线段树套线段树做。

使用二维线段树的错误解法

其实是第一次写二维线段树orz。为了方便，我们不再使用k<<1作为左儿子,k<<1|1作为右儿子，而是使用一个lc,rc数组来存储左孩子和右孩子。实现起来不是很麻烦但是有许多细节。我们可以在操作函数中写一个参数表示是操作的行还是操作的列。另外注意打标记。对于节点k，标记一旦下传，他的孩子的各种标记即被修改，而它自身的标记应该在更前面的一个时刻修改。同时注意update，因为这个WA了好多次。尽管这样，还是有许多错。小数据基本可以过，但大数据就不行了Orz，求各位大佬帮助修改。

使用二维树状数组的正解

首先我们先要把树状数组（单点修改）扩展的二维。很显然，我们可以直接在两个维度重现一维的操作，非常简单。

那么，对于区间修改，我们也要扩展到二维，我们回忆一维时候的做法，我们首先分类讨论，比较了修改一个区间对于一个前缀的影响，具体可以见《挑战程序设计竞赛》或者我的模板汇总贴。

我们继续这样考虑。记\(g(i,j)\)为修改后的二维前缀和，\(s(i,j)\)为修改前的二维前缀和。我们分类讨论，容易得出以下结论。

\[g(i,j) = s(i,j)
\]

\[g(i,j) = s(i,j) + (ij+(x_0-1)(y_0-1))k - (j(x_0-1)+i(y_0-1))k
\]

\[g(i,j) = s(i,j) + (iy_1+(x_0-1)(y_0-1))k - ((x_0-1)y_1+i(y_0-1))k
\]

\[g(i,j) = s(i,j) + (jx_1+(x_0-1)(y_0-1))k - (j(x_0-1)+x_1(y_0-1))k
\]

\[g(i,j) = s(i,j) + (x_1y_1+(x_0-1)(y_0-1))k - ((x_0-1)y_1+x_1(y_0-1))k
\]

上面的五个式子分别对应ij均小，ij均ok，i好j大，i大j好，i大j大五种情况。//上面的狮子\(x_0y_0\)均-1的原因是本蒟蒻开始推的时候忘记把区间前界-1了Orz

推演到这里就非常方便了。我们无论是使用差分的思想，还是使用乱搞的思想都非常好搞了。

具体地，我们开四个树状数组，分别表示与i,j均无关，与ij一个有关，与ij均有关四种情况，分清楚每一种情况的作用域，准确地运用差分即可。

其实，程序实现的时候有很多细节，一个是因为推导时候的错误，一个是因为树状数组从1开始存储，所以要把每个坐标都加一。

这个题写了一晚上，但AC了还是非常有成就感QAQ

代码（使用二维线段树的错误解答）

#include <algorithm>
#include <cstdio>
const int maxm = 3000;
const int maxn = 2048 * 2048 * 4;
int sum[maxn], ll[maxn], rr[maxn], add[maxn], lc[maxn], rc[maxn], sz = 0,
                                                                  gg[maxm];
char wtf;
int n, m;
void pushdown(int k) {
  if (add[k]) {
    add[lc[k]] += add[k];
    add[rc[k]] += add[k];
    int mid = (ll[k] + rr[k]) >> 1;
    sum[lc[k]] += (mid - ll[k] + 1) * (add[k]);
    sum[rc[k]] += (rr[k] - mid) * (add[k]);
    add[k] = 0;
  }
  return;
}
void update(int k) { sum[k] = sum[lc[k]] + sum[rc[k]]; }
int build(int k, int l, int r, int a) {
  ll[k] = l, rr[k] = r;
  if (l == r) {
    if (a == 0) {
      gg[k] = ++sz;
      build(gg[k], 1, m, 1);
    } else if (a == 1) {
      sum[k] = 0;
    }
    return k;
  }
  int mid = (l + r) >> 1, left = build(++sz, l, mid, a),
      right = build(++sz, mid + 1, r, a);
  lc[k] = left, rc[k] = right;
  sum[k] = sum[lc[k]] + sum[rc[k]];
  return k;
}
void change(int k, int y0, int y1, int val) {
  int l = ll[k], r = rr[k], mid = (l + r) >> 1;
  if (y0 <= l && r <= y1) {
    sum[k] += (r - l + 1) * (val);
    add[k] = val;
    return;
  }
  pushdown(k);
  if (y0 <= mid)
    change(lc[k], y0, y1, val);
  if (y1 > mid)
    change(rc[k], y0, y1, val);
  update(k);
}
void plus(int k, int x0, int x1, int y0, int y1, int val) {
  int l = ll[k], r = rr[k], mid = (l + r) >> 1;
  if (x0 <= l && r <= x1 && l == r) {
    change(gg[k], y0, y1, val);
    return;
  }
  if (x0 <= mid)
    plus(lc[k], x0, x1, y0, y1, val);
  if (x1 > mid)
    plus(rc[k], x0, x1, y0, y1, val);
  update(k);
  return;
}
int query(int k, int x0, int x1, int y0, int y1, int a) {
  int l = ll[k], r = rr[k], mid = (l + r) >> 1;
  if (a == 0) {
    if (x0 <= l && r <= x1 && l == r) {
      return query(gg[k], x0, x1, y0, y1, 1);
    }
    int ans = 0;
    if (x0 <= mid)
      ans += query(lc[k], x0, x1, y0, y1, 0);
    if (x1 > mid)
      ans += query(rc[k], x0, x1, y0, y1, 0);
    return ans;
  }
  if (a == 1) {
    if (y0 <= l && r <= y1) {
      return sum[k];
    }
    pushdown(k);
    int ans = 0;
    if (y0 <= mid)
      ans += query(lc[k], x0, x1, y0, y1, 1);
    if (y1 > mid)
      ans += query(rc[k], x0, x1, y0, y1, 1);
    update(k);
    return ans;
  }
}
int main() {
#ifdef D
  freopen("input", "r", stdin);
#endif
  scanf("%c %d %d", &wtf, &n, &m);
  int t = build(++sz, 1, n, 0);
  char ch;
  while (scanf("%c", &ch) == 1) {
    if (ch == 'L') {
      int x0, y0, x1, y1, val;
      scanf("%d %d %d %d %d", &x0, &y0, &x1, &y1, &val);
      if (x0 > x1) {
        std::swap(x0, x1);
        std::swap(y0, y1);
      }
      plus(t, x0, x1, y0, y1, val);
    }
    if (ch == 'k') {
      int x0, y0, x1, y1;
      scanf("%d %d %d %d", &x0, &y0, &x1, &y1);
      if (x0 > x1 && y0 < y1) {
        std::swap(y0, y1);
      }
      if (x0 > x1)
        std::swap(x0, x1);
      int ans = query(t, x0, x1, y0, y1, 0);
      printf("%d\n", ans);
    }
  }
  return 0;
}

代码（使用树状数组的正解）

#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#ifdef D
const int maxn = 30;
#else
const int maxn = 2052;
#endif
int n, m;
int c
    [4][maxn]
    [maxn]; // a:与i无关与j无关,b:与i有关与j无关,c:与i无关与j有关,d:与i有关与j有关
char opt;
void change(int id, int x, int y, int val) {
  for (int i = x; i <= n; i += i & -i) {
    for (int j = y; j <= m; j += j & -j) {
      c[id][i][j] += val;
    }
  }
}
int qu(int id, int x, int y) {
  int ans = 0;
  for (int i = x; i > 0; i -= i & -i) {
    for (int j = y; j > 0; j -= j & -j) {
      ans += c[id][i][j];
    }
  }
  return ans;
}
void pls(int x0, int y0, int x1, int y1, int k) {
  change(0, x0 + 1, y0 + 1, (x0 * y0) * k);
  change(0, x0 + 1, y1 + 1, -(x0 * y1) * k);
  change(0, x1 + 1, y0 + 1, -(x1 * y0) * k);
  change(0, x1 + 1, y1 + 1, (x1 * y1) * k);
  //-------
  change(1, x0 + 1, y0 + 1, -(y0 * k));
  change(1, x1 + 1, y0 + 1, (y0 * k));
  change(1, x0 + 1, y1 + 1, (y1 * k));
  change(1, x1 + 1, y1 + 1, -(y1 * k));
  //-------
  change(2, x0 + 1, y0 + 1, -(x0 * k));
  change(2, x0 + 1, y1 + 1, (x0 * k));
  change(2, x1 + 1, y0 + 1, (x1 * k));
  change(2, x1 + 1, y1 + 1, -(x1 * k));
  //-------
  change(3, x0 + 1, y0 + 1, k);
  change(3, x0 + 1, y1 + 1, -k);
  change(3, x1 + 1, y0 + 1, -k);
  change(3, x1 + 1, y1 + 1, k);
}
int sum(int x, int y) {
  return qu(0, x, y) + (qu(1, x, y) * x) + (qu(2, x, y) * y) +
         (qu(3, x, y) * x * y);
}
int query(int x0, int y0, int x1, int y1) {
  int sum1 = sum(x0 - 1, y0 - 1);
  int sum2 = sum(x0 - 1, y1);
  int sum3 = sum(x1, y0 - 1);
  int sum4 = sum(x1, y1);
  return sum4 - sum2 - sum3 + sum1;
}
int main() {
#ifdef D
  freopen("input", "r", stdin);
#endif
  scanf("%c %d %d", &opt, &n, &m);
  n++, m++;
  memset(c, 0, sizeof(c));
  while (scanf("%c", &opt) == 1)
    if (opt == 'L' || opt == 'k') {
      int x0, y0, x1, y1;
      scanf("%d %d %d %d", &x0, &y0, &x1, &y1);
      x0++;
      x1++;
      y0++;
      y1++;
      if (x0 > x1) {
        std::swap(x0, x1);
        std::swap(y0, y1);
      }
      if (opt == 'L') {
        int v;
        scanf("%d ", &v);
        x0--, y0--;
        pls(x0, y0, x1, y1, v);
      }
      if (opt == 'k') {
#ifdef D
        for (int k = 0; k < 4; k++) {
          for (int i = 1; i <= n; i++) {
            for (int j = 1; j <= m; j++)
              std::cout << c[k][i][j] << ' ';
            std::cout << std::endl;
          }
          std::cout << std::endl << std::endl;
        }
#endif
        int ans = query(x0, y0, x1, y1);
        printf("%d\n", ans);
      }
    }
}