BZOJ 4174 tty的求助 莫比乌斯反演

题目大意：求∑Nn=1∑Mm=1∑m−1k=0⌊nk+xm⌋ mod 998244353

如果n和m都已经确定了。如今要求这坨玩应：

∑m−1k=0⌊nk+xm⌋

=∑m−1k=0(⌊nk%m+xm⌋+nk−nk%mm)

=∑m−1k=0(⌊nk%m+xm⌋+nkm−nk%mm)

我们一项一项考虑

令d=gcd(n,m)，那么有

∑m−1k=0⌊nk%m+xm⌋

=d∗∑md−1k=0⌊kd+xm⌋

=d∗(md∗x−x%mm+∑md−1k=0⌊kd+x%mm⌋)

=d∗(md∗x−x%mm+∑md−1k=0[kd+x%m≥m])

=d∗(x−x%md+⌊x%md⌋)

=d∗⌊xd⌋

∑m−1k=0nkm=nm∗m∗(m−1)2=n∗m−n2

∑m−1k=0nk%mm=d∗∑md−1k=0kdm=d2m∗(md−1)∗md2=m−d2

故答案为

∑Nn=1∑Mm=1(d∗⌊xd⌋+n∗m−n2−m−d2)

=12∗∑Nn=1∑Mm=1(2∗d∗⌊xd⌋+d+n∗m−n−m)

=12∗(S(N)∗S(M)−S(N)∗m−S(M)∗n+∑min(N,M)d=1(d+2∗d∗⌊xd⌋)∑min(⌊Nd⌋,⌊Md⌋)k=1μ(k)∗⌊Nd∗k⌋∗⌊Md∗k⌋)

当中S(n)=n∗(n+1)2

然后O(nlogn)枚举d和k就可以

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#define M 500500
#define MOD 998244353
using namespace std;
int n,m,x;
long long ans;
int mu[M];
int prime[M],tot;
bool not_prime[M];
void Linear_Shaker()
{
    int i,j;
    mu[1]=1;
    for(i=2;i<=500000;i++)
    {
        if(!not_prime[i])
        {
            prime[++tot]=i;
            mu[i]=MOD-1;
        }
        for(j=1;prime[j]*i<=500000;j++)
        {
            not_prime[prime[j]*i]=true;
            if(i%prime[j]==0)
            {
                mu[prime[j]*i]=0;
                break;
            }
            mu[prime[j]*i]=(MOD-mu[i])%MOD;
        }
    }
}
long long Sum(long long n)
{
    return (n*(n+1)>>1)%MOD;
}
int main()
{
    int i,j;
    cin>>n>>m>>x;
    Linear_Shaker();
    ans=((Sum(n)*Sum(m)-Sum(n)*m-Sum(m)*n)%MOD+MOD)%MOD;
    if(n>m) swap(n,m);
    for(i=1;i<=n;i++)
    {
        long long temp=i+x/i*i*2;
        for(j=1;j*i<=n;j++)
            (ans+=temp*mu[j]%MOD*(n/i/j)%MOD*(m/i/j)%MOD)%=MOD;
    }
    cout<<(ans*(MOD+1>>1)%MOD)<<endl;
    return 0;
}