洛谷P2331[SCOI2005]最大子矩阵

题目

DP

此题可以分为两个子问题。

\(m\)等于\(1\):

原题目转化为求一行数列里的\(k\)块区间的和，区间可以为空的值。

直接定义状态\(dp[i][t]\)表示前i个数分为t块的最大值。

因为区间可以为空，所以最大值再小也不会比0小，所以初始化\(dp\)值为\(0\)。

有方程\(dp[i][t]=max(dp[i-1][t],dp[j][t-1]+\sum_{k=j+1}^{i}a[k])\)

考虑顺序及边界，发现此时的\(dp[i][t]\)是从\(t-1\)块转移过来的，所以\(j\)要和\(i\)断开。但是又因为可以从\(1\)一路取到\(i\)，因此\(j+1\)可以取到\(1\)。所以\(0<=j<i\)，而且\(t\)要放在循环的最外面。

\(m\)等于\(2\):

同样可以\(dp\)，定义状态\(dp[i][j][t]\)为第一列取到\(i\)，第二列取到\(j\)，分为\(t\)块的最大值。

有方程\(dp[i][j][t]=max(dp[i-1][j][t],dp[i][j-1][t],dp[o][j][t-1]+\sum_{k=o+1}^{i}a[k][1],dp[i][o][t-1]+\sum_{k=o+1}^{j}a[k][2]);\)

如果i等于j的话，还有方程

\(dp[i][j][t]=max(dp[i][j][t],dp[o][o][t-1]+\sum_{k=o+1}^ia[k][1]+a[k][2]);\)

顺序及边界和第一问一样。

#include <bits/stdc++.h>
#define N 1001
using namespace std;
int n, m, k, maxn;
int dp[N][N][40], a[N][N], sum1[N], sum2[N], dp1[N][40];
int Max(int a, int b, int c, int d) {return max(max(a, b), max(c, d));}
int Q1(int i, int j)
{
	return sum1[j] - sum1[i - 1];
}
int Q2(int i, int j)
{
	return sum2[j] - sum2[i - 1];
}
int main()
{
	scanf("%d%d%d", &n, &m, &k);
	if (m == 1)
	{
		for (int i = 1; i <= n; i++)
			scanf("%d", &a[i][1]), sum1[i] = sum1[i - 1] + a[i][1];
		for (int t = 1; t <= k; t++)
			for (int i = 1; i <= n; i++)
			{
				dp1[i][t] = dp1[i - 1][t];
				for (int j = 0; j < i; j++)
					dp1[i][t] = max(dp1[i][t], dp1[j][t - 1] + Q1(j + 1, i));
			}
		printf("%d", dp1[n][k]);
	}
	else
	{
		for (int i = 1; i <= n; i++)
			for (int j = 1; j <= m; j++)
				scanf("%d", &a[i][j]);
		for (int i = 1; i <= n; i++)
			sum1[i] = sum1[i - 1] + a[i][1],
			sum2[i] = sum2[i - 1] + a[i][2];
		for (int i = 1; i <= n; i++)
			dp[i][0][1] = sum1[i], dp[0][i][1] = sum2[i];
	  	for (int t = 1; t <= k; t++)
	 		for (int i = 1; i <= n; i++)
	 			for (int j = 1; j <= n; j++)
	 			{
	 				dp[i][j][t] = max(dp[i - 1][j][t], dp[i][j - 1][t]);
	 				for (int o = 0; o < i; o++)//选择到第i位。
	 					dp[i][j][t] = max(dp[i][j][t], dp[o][j][t - 1] + Q1(o + 1, i));
	 				for (int o = 0; o < j; o++)
	 					dp[i][j][t] = max(dp[i][j][t], dp[i][o][t - 1] + Q2(o + 1, j));
	 				if (i == j)
	 					for (int o = 0; o < i; o++)
	 						dp[i][j][t] = max(dp[i][j][t], dp[o][o][t - 1] + Q1(o + 1, i) + Q2(o + 1, j));
	 			}
		printf("%d", dp[n][n][k]);
 	}
 	return 0;
}