关于Exgcd

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exgcd（扩展欧几里得）

可以用来判断并求解形如\(ax+by=c\)的方程，当且仅当\(gcd(a,b)|c\)时，存在整数解\(x,y\)

也就是说，\(exgcd\)可以用来求解方程\(ax+by=gcd(a,b)\),令\(a=b,b=a\%b\)则有方程\(b*x_1+(a\%b)*y_1=gcd(b,a\% b)\)

又因为\(gcd(a,b)=gcd(b,a\%b)\)，且\(a\%b=a-b*\) \(\lfloor {a/b}\rfloor * y_1=gcd(a,b)\)

整理得：\(ay_1+b(x_1-\lfloor {a/b}\rfloor* y_1)=gcd(a,b)\)

所以原方程中: \(ay_1+ b(x_1-\lfloor {a/b}\rfloor *y_1)=gcd(a,b)\)

所以我们只需递归求\(x_1,y_1\),就能求出\(x,y\)

Code:

void exgcd(int a, int b, int &x, int &y) {
	if(!b) {x = 1, y = 0;return;}
	int d = exgcd(b, a % b, y, x);
	y -= a / b * x;
	return d;
}

例：洛谷p1082同余方程

#include <cstdio>
#include <iostream>
using namespace std;
int a, b, x, y;
int read() {
	int s = 0, w = 1;
	char ch = getchar();
	while(!isdigit(ch)) {if(ch == '-') w = -1; ch = getchar();}
	while(isdigit(ch)) {s = s * 10 + ch - '0'; ch = getchar();}
	return s * w;
}
void exgcd(int a, int b, int &x, int &y) {
	if(!b) x = 1, y = 0;
	else exgcd(b, a % b, y, x), y -= a / b * x;
}
int main() {
	a = read(), b = read();
	exgcd(a, b, x, y);
	cout << (x + b) % b << endl;
	return 0;
}

谢谢收看， 祝身体健康！