CF1090H Linearization 构造、位运算、前缀和

传送门

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有点神仙的题目

首先注意到对于串\(s\)，\(b=s_0\)一定会比\(b = s_0 \bigoplus 1\)更优

考虑先分析linear串的性质。注意到位运算考虑按位处理。我们考虑\(x\)的最高位，如果\(x\)的最高位为\(1\)，那么linear串的前后两半的异或和为\(0\)，否则前后两半完全相等。那么可以得到一个重要的性质：对于一个linear的串，把其分为前半段和后半段，前半段和后半段要么相等，要么完全不同，对于前后两半段还需递归满足这个条件。

好像有这个性质也没有什么用，但是注意到每一次的修改是区间取反，这在差分数组上会体现为两个位置的修改，比较方便。所以我们考虑差分处理。我们不妨分析一下差分之后linear串的性质。设\(t_i = s_i \bigoplus s_{i-1} , i \in [1 , |s|)\)。对于差分数组\(t\)，因为\(s\)的前半段和后半段相等，所以差分数组除了\(\frac{|s|}{2}\)的位置可以随意取值，剩下的由\(\frac{|s|}{2}\)分开的两个差分数组对应位置相等，且分开得到的两个差分数组还需递归满足这个性质。

我们对于给出的\(01\)串进行差分，对于一个询问\([l,r]\)只需要将\([l+1,r]\)的差分数组用尽可能少的单点取反变为一个满足linear串差分数组性质的数组。注意到linear串差分数组的性质是一些位置的值相等，我们可以把这些值拿出来，用\(\min\{cnt_0 , cnt_1\}\)贡献答案，这样可以做到\(O(nq)\)。

最后需要考虑如何快速求出一个连通块内\(0/1\)个数。不难发现对于所有\(lowbit\)相等的位置会形成一个连通块（这个可以考虑所有\(lowbit\)相同的点，然后考虑自底向上时的连边情况，不难发现这些点连成一棵树且没有往外连边），然后记一下前缀和计算对于\(lowbit\)相等的所有位置的\(1\)的个数即可。

代码