和式 sigma的使用

1.和式

0)艾佛森约定

艾佛森约定可以用来简化和式，艾佛森约定中的\([p(k)]\)就是一个限制条件，类似于一个\(bool\)函数，我们可以这样写
\[
\sum_{1<k<n}a_k=\sum_{k}a_k[p(k)]
\]
其中
\[
p(k)=\left\{
\begin{aligned}
1& &1<k<n \\
0& &k>n\ or\ k<1
\end{aligned}
\right.
\]

1)分配律

\[
\sum_{k\in K}ca_k=c\sum_{k\in K}a_k
\]

2)结合律

公式

\[
\sum_{k\in K}(a_k+b_k)=\sum_{k\in K}a_k+\sum_{k\in K}b_k
\]

使用例子

集合\(S=\{1,2,3,...,n\}\)

统计\(S\)的所有子集，可以用这个表达式
\[
\sum_{A}{[A\subseteq S]}\\
=\sum_{x_1,x_2,x_3,...,x_n}[x_1\in \{1,0\}][x_2\in \{1,0\}][x_3\in \{1,0\}]...[x_n\in \{1,0\}]\\
=\sum_{x_1}[x_1\in \{1,0\}]\sum_{x_2,x_3,x_4...,x_n}[x_2\in \{1,0\}][x_3\in \{1,0\}][x_4\in \{1,0\}]...[x_n\in \{1,0\}]\\
...\\
=\sum_{x_1}[x_1\in \{1,0\}]\sum_{x_2}[x_2\in \{1,0\}]\sum_{x_3}[x_3\in \{1,0\}]...\sum_{x_n}[x_n\in \{1,0\}]\\
=2^n
\]