LightOJ1336 Sigma Function(约数和为偶数的个数)

Sigma Function

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Description

Sigma function is an interesting function in Number Theory. It is denoted by the Greek letter Sigma (σ). This function actually denotes the sum of all divisors of a number. For example σ(24) = 1+2+3+4+6+8+12+24=60. Sigma of small numbers is easy to find but for large numbers it is very difficult to find in a straight forward way. But mathematicians have discovered a formula to find sigma. If the prime power decomposition of an integer is

Then we can write,

For some n the value of σ(n) is odd and for others it is even. Given a value n, you will have to find how many integers from 1 to n have even value of σ.

Input

Input starts with an integer T (≤ 100), denoting the number of test cases.

Each case starts with a line containing an integer n (1 ≤ n ≤ 10¹²).

Output

For each case, print the case number and the result.

Sample Input

4

3

10

100

1000

Sample Output

Case 1: 1

Case 2: 5

Case 3: 83

Case 4: 947

首先给出题目中的公式的推导过程：

n是一个整数，f(n)代表他的因子的和。假设n=12，对他进行素因子分解可得n=2^2*3。12的因子有1,2,3,4,6,12，和为28。根据题目中的公式：f(n)=(2^3-1)/(2-1)*(3^2-1)/(3-1)=7*4=28。为什么会是这样呢？将因子再进行素因子分解可以发现：1=2^0*3^0 , 2=2^1*3^0 , 3=2^0*3^1 , 4=2^2*3^0 , 6=2^1 *3^1 , 12=2^2*3^1。所以1+2+3+4+6+12=2^0*3^0+2^1*3^0+2^0*3^1+2^2*3^0+2^1 *3^1+2^2*3^1=(2^0+2^1+2^2)*(3^0+3^1)。利用等比数列前n项和公式：(2^3-1)/(2-1)*(3^2-1)/(3-1)=7*4=28。推导完毕。

事实上，这称之为积性函数。

解题思路：

题意：

求 1—n 中，有多少个数的因子和是偶数。

题解：

打表找规律。

素因子分解打表计算前n项和判断奇数偶数可以发现如下规律：

只要是2^x,a^2,2*a^2...只有这种数的因子和是奇数。所以，我们直接去重即可。
但是这些直接去重我们会发现减去的这些值有重复的，所以我们要判断下。

i (代表x||a): 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ......

2^x: 1 2 4 8 16 32 64 128 ......

a^2: 0 1 4 9 16 25 36 49 64 ......

2*a^2: 0 2 8 18 32 50 72 ......

我们可以发现2^x里面有的数，a^2和2*a^2里面都有。

加下划线的字一一对应，加粗的字一一对应。

①2^x和a^2,  当x为偶数时二者出现重复。
②2^x和2*a^2，当x为奇数时，二者出现重复。

所以不需要考虑2^x的个数，直接用n减去a^2和2*a^2的个数就是我们要的结果。

易知：a^2的个数=sqrt(n)，2*a^2的个数=sqrt(n/2)。

那么为什么会是这样呢？给出推导过程：

n=p1^e1*p2^e2...,则f(n)=(p1^(e1+1)-1)/(p1-1))*(p2^(e2+1)-1)/(p2-1))....
且(p1^(e1+1)-1）/(p1-1))=p1^0+p1^1......+p1^e1;
要使得f(n)为奇数，则(p1^(e1+1)-1)/(p1-1)到(pn^(en+1)-1)/(pn-1)都要为奇数;

因为奇数*奇数=奇数，奇数*偶数=偶数;

1)当p=2时，2^(e+1)-1,一定为奇数;
2)当p!=2时，则p为奇数(因为p是素因子)，则当e为偶数时(p^(e+1)-1)/(p-1)为奇数。

经转化我们可以发现，2^6=8^2，2^11=2*32^2。也就是平方数和2倍的平方数。
则需要统计1到n中的平方数个数和2倍的平方数的个数，得到的为1到n中f(n)为奇数的个数。

#include <iostream>
#include <cmath>
#include <cstdio>
using namespace std;
typedef long long ll;
int main()
{
    int t,cas=;
    cin>>t;
    while(t--)
    {
        ll n,a,b;
        cin>>n;
        a=sqrt(n);
        b=sqrt(n/);
        printf("Case %d: %lld\n",cas++,n-a-b);
    }
    return ;
}