Codeforces 902D/901B - GCD of Polynomials

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本题是一个数学问题——多项式整除。

对于两个整数a、b，求最大公约数gcd(a,b)的辗转相除法的函数如下：

int gcd(int a, int b) {
    if (b == ) return a;
    return gcd(b, a % b);
}

一次辗转相除法将数对(a,b)转化成(b,a mod b)，直至b=0。

对于多项式A(x)，定义deg A(x)为多项式的次数。对于多项式A、B，定义多项式mod运算：若A(x)=B(x)·D(x)+R(x),deg R(x)<deg B(x)，则R(x)≡A(x) mod B(x)。

于是，一次辗转相除将多项式对(A,B)转化成(B,A mod B)，直至B=0。

已知两个多项式A(x)、B(x)的系数在{-1,0,1}中取值，且deg A(x)≥deg B(x)；构成的多项式对(A,B)，经过n次辗转相除后结束操作。求可能的多项式A(x)、B(x)。

考虑整数的情形：Fibonacci数列：F(0)=1，F(1)=1，F(n+1)=F(n)+F(n-1)。

于是，一次辗转相除法将(F(n+1),F(n))转化成(F(n),F(n-1))。于是，(F(n),F(n-1))在n次辗转相除后结束操作。

类似地，构造多项式的情形：P(0)=1，P(1)=x，P(n+1)=x·P(n)±P(n-1)。

递推时，维护P(n+1)的系数在{-1,0,1}中取值，这可以通过符号选择（+/-）实现。

还可以构造多项式：P(0)=1，P(1)=x，P(n+1)≡x·P(n)+P(n-1) mod2。

参考程序如下：

#include <stdio.h>
#define MAX_N 200

int p[MAX_N][MAX_N];

int main(void)
{
    int n;
    scanf("%d", &n);
    p[][] = ;
    p[][] = ;
    for (int i = ; i < n; i++) {
        //p[i + 1] = {x * p[i] + p[i - 1]} % 2;
        for (int j = ; j <= i; j++)
            p[i + ][j + ] += p[i][j];
        for (int j = ; j <= i - ; j++)
            p[i + ][j] += p[i - ][j];
        for (int j = ; j <= i + ; j++)
            p[i + ][j] %= ;
    }
    int deg;
    for (deg = n; p[n][deg] == ; deg--);
    printf("%d\n", deg);
    for (int i = ; i <= deg; i++)
        printf("%d ", p[n][i]);
    printf("\n");
    for (deg = n - ; p[n - ][deg] == ; deg--);
    printf("%d\n", deg);
    for (int i = ; i <= deg; i++)
        printf("%d ", p[n - ][i]);
    printf("\n");
    return ;
}