弱省互测#1 t3

题意

给出一棵n个点的树，求包含1号点的第k小的连通块权值和。（\(n<=10^5\)）

分析

k小一般考虑堆...

题解

堆中关键字为\(s(x)+min(a)\)，其中\(s(x)\)表示\(x\)状态的权值和，\(min(a)\)表示\(x\)状态相邻的不在\(x\)里的的点的最小权值。

每一次从堆中弹出最小的，然后用这个来拓展。

可以证明，这样第\(k\)次弹出来的状态\(x \cup \\{ a \\}\)就是\(k\)小的。

证明很简单，堆中的都是待拓展状态，每一次取出来\(x \cup \\{ a \\}\)的将来再也不会有状态的权值和小于这个状态。

维护相邻的点我们可以用可持久化堆搞。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long ll;
const int MX=8000005; //超过这个数这份代码别想活了【捂脸熊
struct node *null;
struct node {
	node *c[2];
	int x, w, s;
	void up() { s=1+c[0]->s+c[1]->s; if(c[0]->s<c[1]->s) swap(c[0], c[1]); }
}pool[MX], *iT=pool;
int cc=2;
node *newnode() {
	node *x=iT++; ++cc; if(cc>=MX) { puts("err"); exit(0); }
	x->c[0]=x->c[1]=null; x->x=-1; x->w=0; x->s=0;
	return x;
}
void cpy(node *x, node *y) {
	x->x=y->x; x->w=y->w; x->s=y->s;
	x->c[0]=y->c[0]; x->c[1]=y->c[1];
}
void init() {
	null=iT++;
	null->c[0]=null->c[1]=null;
	null->x=0; null->w=0; null->s=0;
}
node *merge(node *l, node *r) {
	if(l==null) return r;
	if(r==null) return l;
	node *x=newnode();
	if(l->w<=r->w) { cpy(x, l); x->c[1]=merge(x->c[1], r); }
	else { cpy(x, r); x->c[1]=merge(x->c[1], l); }
	x->up();
	return x;
}
node *ins(node *x, node *y) {
	if(x==null) return y;
	node *p=x;
	if(y->w<=x->w) p=y, p->c[0]=x;
	else x->c[1]=ins(x->c[1], y);
	p->up();
	return p;
}
node *ins(node *x, int id, int w, int flag=1) {
	node *y=newnode(); y->x=id; y->w=w; y->s=1;
	return flag?merge(x, y):ins(x, y);
}
node *del(node *x) { return merge(x->c[0], x->c[1]); }
struct ip {
	node *x; ll sum;
	bool operator<(const ip &a) const { return sum<a.sum; }
};
multiset<ip> q;

const int N=100005;
int ihead[N], f[N], cnt, n, K;
struct E { int next, to, w; }e[N<<1];
void add(int x, int y, int w) {
	e[++cnt]=(E){ihead[x], y, w}; ihead[x]=cnt;
	e[++cnt]=(E){ihead[y], x, w}; ihead[y]=cnt;
}
node *root[N];
int main() {
	init();
	scanf("%d%d", &n, &K);
	for(int i=2; i<=n; ++i) {
		int w;
		scanf("%d%d", &f[i], &w);
		add(i, f[i], w);
	}
	node *rt=null;
	for(int x=1; x<=n; ++x) {
		root[x]=null;
		for(int i=ihead[x]; i; i=e[i].next) if(e[i].to!=f[x])
			root[x]=ins(root[x], e[i].to, e[i].w, 0);
	}
	root[n+1]=ins(null, 1, 0, 0);
	q.insert((ip){root[n+1], 0});
	ll ans=0; int cnt=0; ip t;
	multiset<ip>::iterator it;
	while(1) {
		if(q.size()==0) break;
		it=q.begin(); q.erase(it);
		t=*it;
		ans=t.sum;
		node *now=t.x;
		if(now==null) continue;
		rt=del(now); if(rt!=null) q.insert((ip){rt, t.sum-now->w+rt->w});
		rt=merge(rt, root[now->x]);
		q.insert((ip){rt, t.sum+rt->w});
		++cnt; if(cnt==K) { ans=t.sum; break; }
		if((int)q.size()>K) { it=q.end(); q.erase(--it); }
	}
	printf("%lld\n", ans%998244353);
	return 0;
}