BZOJ2118:墨墨的等式(最短路)

Description

墨墨突然对等式很感兴趣，他正在研究a1x1+a2y2+…+anxn=B存在非负整数解的条件，他要求你编写一个程序，给定N、{an}、以及B的取值范围，求出有多少B可以使等式存在非负整数解。

Input

输入的第一行包含3个正整数，分别表示N、BMin、BMax分别表示数列的长度、B的下界、B的上界。输入的第二行包含N个整数，即数列{an}的值。

Output

输出一个整数，表示有多少b可以使等式存在非负整数解。

Sample Input

2 5 10
3 5

Sample Output

5

HINT

对于100%的数据，N≤12，0≤ai≤5*10^5，1≤BMin≤BMax≤10^12。

Solution

看样子好像是一个很经典的题……

一开始读错题了难受了好久……后来发现题意可以化简成你有若干种价值为正的物品，每种无限个，问你给定区间$[B_{Min},B_{Max}]$中有多少个价值可以被凑出来。

设$Min=min(a_i)$，那么显然对于$val∈[0,Min-1]$，若价值$val$能被凑出来，那么$val+?*Min$也能被凑出来。

现在问题转化成了对于$val∈[0,Min-1]$，分别求最小可以被凑出来的$val+?*Min$。

这个问题就可以转化成最短路来求解了，对于每一个$val$，我们枚举$i$，然后添加一条边$val->(val+a_i)modMin$，边长为$a_i$，然后求解最短路就好了。

不懂的话画个图感性理解或者看看代码应该挺好用的

Code

 #include<iostream>
 #include<cstring>
 #include<cstdio>
 #include<queue>
 #define N (6000009)
 using namespace std;

 struct Edge{int to,next,len;}edge[N];
 struct Node
 {
     long long num,dis;
     bool operator < (const Node a) const {return dis>a.dis;}
 };
 int n,a[N],head[N],num_edge,Min=1e9;
 long long dis[N],Bmin,Bmax;
 bool vis[N];
 priority_queue<Node>q;

 void add(int u,int v,int l)
 {
     edge[++num_edge].to=v;
     edge[num_edge].next=head[u];
     edge[num_edge].len=l;
     head[u]=num_edge;
 }

 void Dijkstra(int s)
 {
     for (int i=; i<Min; ++i) dis[i]=1e18;
     dis[s]=; q.push((Node){s,});
     while (!q.empty())
     {
         Node x=q.top(); q.pop();
         if (vis[x.num]) continue;
         vis[x.num]=true;
         for (int i=head[x.num]; i; i=edge[i].next)
             if (dis[x.num]+edge[i].len<dis[edge[i].to])
             {
                 dis[edge[i].to]=dis[x.num]+edge[i].len;
                 q.push((Node){edge[i].to,dis[edge[i].to]});
             }
     }
 }

 long long Calc(long long x)
 {
     long long ans=;
     for (int i=; i<Min; ++i)
         if (dis[i]<=x) ans+=(x-dis[i])/Min+;
     return ans;
 }

 int main()
 {
     scanf("%d%lld%lld",&n,&Bmin,&Bmax);
     for (int i=; i<=n; ++i)
     {
         scanf("%d",&a[i]);
         if (a[i]==) {--i; --n; continue;}
         Min=min(Min,a[i]);
     }
     if (!n) {puts(""); return ;}
     for (int i=; i<=n; ++i)
         for (int j=; j<Min; ++j)
             add(j,(j+a[i])%Min,a[i]);
     Dijkstra();
     printf("%lld\n",Calc(Bmax)-Calc(Bmin-));
 }