Luogu-3250 [BJOI2017]魔法咒语(AC自动机，矩阵快速幂)

Luogu-3250 [BJOI2017]魔法咒语(AC自动机，矩阵快速幂)

题目链接

题解：

多串匹配问题，很容易想到是AC自动机

先构建忌讳词语的AC自动机，构建时顺便记录一下这个点以及它的所有后缀有没有忌讳词语，即对于每个AC自动机上的结点\(x\),\(p[x].p|=p[p[x].f].p\)

然后前半部分分和后半是两道完全不同的题目（滑稽

前60分：

这些部分分的特征是\(L\le 100\)

直接AC自动机上\(dp\)就好了,枚举匹配长度\(i\)，当前匹配到的点\(x\)，以及后面要匹配的基本词汇\(s[j]\)，找到匹配了这个串后到达的点\(y\)，如果匹配过程中没有经过忌讳词语结点，就进行转移\(f[i+len[s[j]]][y]+=f[i][x]\)

最后统计下终点在每个点的情况就好了

inline void work(){
	memset(f,0,sizeof(f));
	f[0][0]=1;
	for(int i=0;i<L;i++)
		for(int x=0;x<=tot;x++){
			for(int j=1;j<=n;j++){
				int len=strlen(a[j]+1);
				if(i+len>L) continue;
				int y=run(x,a[j]);
				if(y==-1) continue;
				(f[i+len][y]+=f[i][x])%=P;
			}
		}
	int Ans=0;
	for(int x=0;x<=tot;x++) (Ans+=f[L][x])%=P;
	printf("%d\n",Ans);
}

后40分：

这些测试点的特点就是基本词汇长度小于等于2

\(\sum s[i]\)这么小，\(L\)这么大不禁让人往矩阵快速幂上想

利用矩阵乘法进行转移，如果设被乘的矩阵\(S\)中\(S[0][i]\)代表每个点是否可以在串长为0时匹配（很明显只有\(S[0][0]=1\)）。那么如果我们构建乘它的矩阵为\(G\)，根据矩阵乘法的运算法则：

\[T[0][j]=\sum_{k=0}^n{S[0][k]*G[k][j]}
\]

可以发现，如果\(G[x][y]\)代表的是走一步从\(x\)转移到\(y\)的方案数，得到的矩阵\(T\)中的元素\(T[0][x]\)就是走一步转移到\(x\)的方案数，也就是相当于模拟走了一步。如果我们走了\(L\)步让\(S*G^L\)就好了，矩阵乘法有结合律，我们就可以先用快速幂算出\(G^L\)，最后再乘\(S\)

但是这样做只能处理串长为\(1\)的情况，因为没有保留前一步的方案数，串长为\(2\)的转移是无法处理的。也就是说，设当前是第\(k\)步，转移应该包括两部分：一部分是从\(S_k\)走一步到\(S_{k+1}\)，一部分是从\(S_{k-1}\)走两步到\(S_{k+1}\)。

这种需要同时考虑这一步和上一步的矩阵要如何转移呢?

举一个非常简单的例子吧：求斐波那契数列的第\(n\)项。

由于\(Fib[i+1]=Fib[i-1]+Fib[i]\)，我们就用了一个大小为\(1*2\)的矩阵\(S\)，\(S[0][0]\)记录\(Fib[i-1]\)，\(S[0][1]\)记录\(Fib[i]\)。

转移矩阵\(G\)是这样的（矩阵下标从零开始）：

\[G=
\left[
\begin{matrix}
0&1\\
1&1
\end{matrix}
\right]
\]

联系\(S[0][0]与S[0][1]\)的含义和矩阵乘法的含义：

\(G[1][0]=1\)代表下一步的\(Fib[i-1]\)就是这一步的\(Fib[i]\)

\(G[1][1]=1\)代表下一步的\(Fib[i]\)能由这一步的\(Fib[i]\)转移

\(G[0][1]=1\)代表下一步的\(Fib[i]\)能由这一步的\(Fib[i-1]\)转移

\(G[0][0]=0\)是因为下一步的\(Fib[i-1]\)已经钦定为这一步的\(Fib[i]\)，无需其他转移

总的来说，转移矩阵包括四部分:这一个到下一个(走一步)，前一个到下一个（走两步），这一个到“下一个的前一个”（单位矩阵），前一个到下一个的前一个（一般为全\(0\)）

了解了矩阵乘法求\(Fib[n]\)的原理之后，这道题就很简单了

构造大小为\(2*n\)的\(S\)，\(S[0][0\sim n]\)记前一步的方案数，\(S[0][n+1\sim n+1+n]\)记这一步的方案数

构造大小为\(2n*2n\)的\(G\)，右下是长为\(1\)串的转移矩阵，右上是长为\(2\)串的转移矩阵，左下是单位矩阵，左上是全\(0\)矩阵

最后得到的矩阵\(T=S*G^L\)中，\(T[0][n+1\sim n+1+n]\)的和即为答案。

代码：

• 处理长度分别为\(1,2\)的串的转移

for(int x=0;x<=tot;x++){
		for(int i=1;i<=n;i++){
			if(strlen(a[i]+1)>1) continue;
			int y=run(x,a[i]);
			if(y==-1) continue;
			g.a[tot+1+x][tot+1+y]++;
		}
	}
	for(int x=0;x<=tot;x++){
		for(int i=1;i<=n;i++){
			if(strlen(a[i]+1)<2) continue;
			int y=run(x,a[i]);
			if(y==-1) continue;
			g.a[x][tot+1+y]++;
		}
	}

• 左下角单位矩阵

	for(int x=0;x<=tot;x++)
		g.a[tot+1+x][x]++;

• 矩阵快速幂

	g=poww(g,L);
	int Ans=0;
	for(int x=0;x<=tot;x++)
		(Ans+=g.a[tot+1][tot+1+x])%=P;
	printf("%d\n",(Ans+P)%P);

代码：

#include<map>
#include<set>
#include<cmath>
#include<ctime>
#include<queue>
#include<stack>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define qmax(x,y) (x=max(x,y))
#define qmin(x,y) (x=min(x,y))
#define mp(x,y) make_pair(x,y)
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int,int> pii;
inline int read(){
	int ans=0,fh=1;
	char ch=getchar();
	while(ch<'0'||ch>'9'){
		if(ch=='-') fh=-1;
		ch=getchar();
	}
	while(ch>='0'&&ch<='9')
		ans=ans*10+ch-'0',ch=getchar();
	return ans*fh;
}
const int maxn=150,P=1e9+7;
struct node{
	int son[26],p,f;
}p[maxn];
struct matrix{
	int a[210][210];
}g,base,tmp;
int tot,n,m,L,f[200][maxn];
char a[60][maxn],b[60][maxn];
matrix operator * (matrix x,matrix y){
	for(int i=0;i<=tot+1+tot;i++)
		for(int j=0;j<=tot+1+tot;j++){
			tmp.a[i][j]=0;
			for(int k=0;k<=tot+1+tot;k++)
				(tmp.a[i][j]+=1ll*x.a[i][k]*y.a[k][j]%P)%=P;
		}
	return tmp;
}
inline void insert(char *s){
	int len=strlen(s+1),x=0;
	for(int i=1;i<=len;i++){
		int z=s[i]-'a';
		if(!p[x].son[z])
			p[x].son[z]=++tot;
		x=p[x].son[z];
	}
	p[x].p=1;
}
queue<int>q;
inline void build(){
	for(int i=0;i<26;i++)
		if(p[0].son[i]) q.push(p[0].son[i]);
	while(!q.empty()){
		int x=q.front();q.pop();
		for(int i=0;i<26;i++)
			if(p[x].son[i]){
				p[p[x].son[i]].f=p[p[x].f].son[i];
				q.push(p[x].son[i]);
			}
			else p[x].son[i]=p[p[x].f].son[i];
		p[x].p|=p[p[x].f].p;
	}
}
inline int run(int x,char *s){
	int len=strlen(s+1);
	for(int i=1;i<=len;i++){
		int z=s[i]-'a';
		x=p[x].son[z];
		if(p[x].p) return -1;
	}
	return x;
}
inline void work(){
	memset(f,0,sizeof(f));
	f[0][0]=1;
	for(int i=0;i<L;i++)
		for(int x=0;x<=tot;x++){
			for(int j=1;j<=n;j++){
				int len=strlen(a[j]+1);
				if(i+len>L) continue;
				int y=run(x,a[j]);
				if(y==-1) continue;
				(f[i+len][y]+=f[i][x])%=P;
			}
		}
	int Ans=0;
	for(int x=0;x<=tot;x++) (Ans+=f[L][x])%=P;
	printf("%d\n",Ans);
}
inline matrix poww(matrix x,int y){
	for(int i=0;i<=tot+1+tot;i++)
		base.a[i][i]=1;
	while(y){
		if(y&1) base=base*x;
		x=x*x,y>>=1;
	}
	return base;
}
inline void work2(){
	for(int x=0;x<=tot;x++){
		for(int i=1;i<=n;i++){
			if(strlen(a[i]+1)>1) continue;
			int y=run(x,a[i]);
			if(y==-1) continue;
			g.a[tot+1+x][tot+1+y]++;
		}
	}
	for(int x=0;x<=tot;x++){
		for(int i=1;i<=n;i++){
			if(strlen(a[i]+1)<2) continue;
			int y=run(x,a[i]);
			if(y==-1) continue;
			g.a[x][tot+1+y]++;
		}
	}
	for(int x=0;x<=tot;x++)
		g.a[tot+1+x][x]++;
	g=poww(g,L);
	int Ans=0;
	for(int x=0;x<=tot;x++)
		(Ans+=g.a[tot+1][tot+1+x])%=P;
	printf("%d\n",(Ans+P)%P);
}
int main(){
//	freopen("nh.in","r",stdin);
//	freopen("zhy.out","w",stdout);
	n=read(),m=read(),L=read();
	for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%s",a[i]+1);
	for(int i=1;i<=m;i++) scanf("%s",b[i]+1);
	for(int i=1;i<=m;i++) insert(b[i]);
	build();
	if(L<=100) work();
	else work2();
	return 0;
}