题解 P5265 【模板】多项式反三角函数

→_→ OI 生涯晚期才开始刷板子题的咱

其实这题就是道公式题，搞过多项式全家桶的同学贴贴板子照着公式码两下都能过...

至于公式的证明嘛...总之贴上公式：

\[Arcsin(F)=\int{F'\over \sqrt{1-F^2}}
\]

\[Arctan(F)=\int{F'\over 1+F^2}
\]

然后可以康出这里就是一个要用 Sqrt、 Inv、Inter、Direv 的 普通 多项式题

Code

//by Judge
#include<bits/stdc++.h>
#define Rg register
#define fp(i,a,b) for(Rg int i=(a),I=(b)+1;i<I;++i)
#define fd(i,a,b) for(Rg int i=(a),I=(b)-1;i>I;--i)
#define ll long long
using namespace std;
const int mod=998244353;
const int iG=332748118;
const int M=3e5+3;
typedef int arr[M];
#ifndef Judge
#define getchar() (p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,1<<21,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++)
#endif
char buf[1<<21],*p1=buf,*p2=buf;
inline int dec(int x,int y){return (x-=y)<0?x+mod:x;}
inline int inc(int x,int y){return (x+=y)>=mod?x-mod:x;}
inline int mul(int x,int y){return 1ll*x*y%mod;}
inline int read(){ int x=0,f=1; char c=getchar();
	for(;!isdigit(c);c=getchar()) if(c=='-') f=-1;
	for(;isdigit(c);c=getchar()) x=x*10+c-'0'; return x*f;
} char sr[1<<21],z[20];int CCF=-1,Z;
inline void Ot(){fwrite(sr,1,CCF+1,stdout),CCF=-1;}
inline void print(int x,char chr=' '){
    if(CCF>1<<20)Ot();if(x<0)sr[++CCF]=45,x=-x;
    while(z[++Z]=x%10+48,x/=10);
    while(sr[++CCF]=z[Z],--Z);sr[++CCF]=chr;
} int n,tp,d,limit; arr a,b,r[21],lg,inv,G[2];
inline int qpow(Rg int x,Rg int p=mod-2,Rg int s=1){
	for(;p;p>>=1,x=mul(x,x)) if(p&1) s=mul(s,x); return s;
}
namespace Poly{
	inline void init(Rg int n){ d=0;
		for(limit=1;limit<=n<<1;limit<<=1)++d;
	}
	inline void prep(int n){ inv[1]=1,init(n);
		fp(i,2,limit) inv[i]=mul(mod-mod/i,inv[mod%i]);
		fp(d,1,19){ lg[1<<d]=d; fp(i,0,(1<<d)-1)
			r[d][i]=(r[d][i>>1]>>1)|((i&1)<<(d-1));
		}
		for(Rg int t=(mod-1)>>1,i=1,x,y;i<262144;i<<=1,t>>=1){
			x=qpow(3,t),y=qpow(iG,t),G[0][i]=G[1][i]=1;
			fp(k,1,i-1) G[1][i+k]=mul(G[1][i+k-1],x),G[0][i+k]=mul(G[0][i+k-1],y);
		}
	}
	inline void NTT(int* a,int tp){ fp(i,0,limit-1) if(i<r[d][i]) swap(a[i],a[r[d][i]]);
		for(Rg int mid=1,I=2;mid<limit;mid<<=1,I<<=1) for(Rg int j=0,y;j<limit;j+=I) fp(k,0,mid-1)
			y=mul(G[tp][mid+k],a[j+k+mid]),a[j+k+mid]=dec(a[j+k],y),a[j+k]=inc(a[j+k],y);
		if(tp) return ; fp(i,0,limit-1) a[i]=mul(a[i],inv[limit]);
	}
	void Inv(int* a,int* b,int n){
		static arr C,D; if(n==1) return b[0]=qpow(a[0]),void();
		Inv(a,b,(n+1)>>1),init(n); fp(i,0,n-1) C[i]=a[i],D[i]=b[i];
		fp(i,n,limit-1) C[i]=D[i]=0; NTT(C,1),NTT(D,1);
		fp(i,0,limit-1) C[i]=mul(C[i],mul(D[i],D[i])); NTT(C,0);
		fp(i,0,n-1) b[i]=dec(inc(b[i],b[i]),C[i]); fp(i,n,limit-1) b[i]=0;
	}
	void Sqrt(int* a,int* b,int n){
		static arr D,F; if(n==1) return b[0]=sqrt(a[0]),void();
		Sqrt(a,b,(n+1)>>1); fp(i,0,n<<1) F[i]=0;
		Inv(b,F,n),init(n); fp(i,0,n-1) D[i]=a[i];
		fp(i,n,limit-1) D[i]=0; NTT(D,1),NTT(b,1),NTT(F,1);
		fp(i,0,limit-1) b[i]=mul(inc(b[i],mul(D[i],F[i])),inv[2]);
		NTT(b,0); fp(i,n,limit-1) b[i]=0;
		memset(D,0,limit<<2),memset(F,0,limit<<2);
	}
	inline void Direv(int* a,int* b,int n){
		fp(i,1,n-1) b[i-1]=mul(a[i],i); b[n-1]=b[n]=0;
	}
	inline void Inter(int* a,int* b,int n){
		fp(i,1,n-1) b[i]=mul(a[i-1],inv[i]); b[0]=0;
	}
	inline void Arcsin(int* a,int* b,int n){
		static arr A,B,C; Direv(a,A,n),init(n),NTT(a,1);
		fp(i,0,limit-1) B[i]=dec(1,mul(a[i],a[i])); NTT(B,0);
		fp(i,n,limit-1) B[i]=0; Sqrt(B,C,n),Inv(C,B,n),NTT(A,1),NTT(B,1);
		fp(i,0,limit-1) A[i]=mul(A[i],B[i]); NTT(A,0); Inter(A,b,n);
	}
	inline void Arctan(int* a,int* b,int n){
		static arr A,B,C; Direv(a,A,n),init(n),NTT(a,1);
		fp(i,0,limit-1) B[i]=inc(mul(a[i],a[i]),1);
		NTT(B,0),Inv(B,C,n),NTT(A,1),NTT(C,1);
		fp(i,0,limit-1) A[i]=mul(A[i],C[i]);
		NTT(A,0); Inter(A,b,n);
	}
} using namespace Poly;
int main(){
	n=read(),tp=read(),prep(n);
	fp(i,0,n-1) a[i]=read();
	if(tp) Arctan(a,b,n);
	else Arcsin(a,b,n);
	fp(i,0,n-1) print(b[i]);
	return Ot(),0;
}

底层优化了一下才跑到第一页...

顺便等咱康懂了证明之后可能会 Update 一下题解（虽说感觉咱永远也康不懂就是了）

Upd

在神鱼的帮助下康懂了求导过程...orz 神鱼 Nacly_Fish

首先咱都知道对于一个函数存在：

\[F(x)=\int F'(x)
\]

不要在意边界、定不定和什么余项不余项的...

好吧正确的式子应该是这个丫子的：

\[F(x)=\int F'(x) +R(x)
\]

其中 \(R(x)\) 就是个弟弟余项，你可以认为这是强行对于积分后的末项进行补差（因为求导之后常数项信息丢失，积分之后信息被搞成了 0 ）

由于三角函数与反三角函数的优良性质（艹，无限项数），这个 R 就木有掉了

然后咱考虑原问题：

首先对于 arcsin ， 咱可以这么求出它的导数，然后进行积分求解，那么这个玩意儿的导数怎么求呢？

算了不废话了直接一顿证明完事儿好了：

\[\begin{aligned} \begin{cases} sin'(x)={dy\over dx} \\sin'(x) =cos(x) \end{cases} \\ \Rightarrow {dy\over dx}=cos(x) \\ {dx\over dy} ={1\over cos(x)} \\{d ~arcsin (y)\over dy} ={1\over \sqrt{1-y^2}} \end{aligned}
\]

也就是说，对于一个已知值 x ，存在：

\[\begin{aligned} arcsin'(x)={1\over \sqrt{1-x^2}} \\arcsin(x)=\int{1\over \sqrt{1-x^2}} \end{aligned}
\]

令 \(Arcsin(x)\) 表示以 \(x\) 为变量的 \(arcsin(F(x))\) 那么对于一个多项式有：

\[\begin{aligned}Arcsin(x)&=arcsin(F(x)) \\ Arcsin'(x) &=arcsin(F(x))' \\ Arcsin'(x) &=arcsin'(F(x)) F'(x)\\ Arcsin'(x) &={F'(x)\over \sqrt{1-F^2(x)}} \\ Arcsin(x) &=\int{F'(x) \over \sqrt{1-F^2(x)}} \end{aligned}
\]

证毕

然后啃啃 \(Arctan\) ? 这个您可以自己啃，只要用类似的方法，把 \(tan'(x)={1\over cos^2(x)}\) 套一套就好了

您可以先自己推一推...

然后咱的推倒：

\[\begin{aligned} \begin{cases} tan'(x)={dy\over dx} \\tan'(x) ={1\over cos^2(x) } \end{cases} \\ \Rightarrow {dy\over dx}={1\over cos^2(x)} \\ {dx\over dy} =cos^2(x) \\{dx\over dy} ={cos^2(x)\over sin^2(x)+cos^2(x)} \\{dx\over dy} ={1\over 1+tan^2(x)} \\{d ~arctan (y)\over dy} ={1\over 1+y^2 } \end{aligned}
\]

那么：

\[\begin{aligned} arctan'(x)= {1\over 1+x^2} \\arctan(x)=\int{1\over 1+x^2} \end{aligned}
\]

接着：

\[\begin{aligned}Arctan(x)&=arctan(F(x)) \\ Arctan'(x)&=arctan(F(x))' \\ Arctan'(x)&=arctan'(F(x)) F'(x)\\ Arctan'(x)&={F'(x)\over 1+F^2(x)} \\ Arctan(x)&=\int{F'(x) \over 1+F^2(x)} \end{aligned}
\]