【BZOJ3143】【Luogu P3232】 [HNOI2013]游走 概率期望，图论

期望\(DP\)入门题目。

关键思想：无向边的转移作为有向边考虑。其他的就是直接上全期望公式。由于这个题目不是有向无环图，所以需要高斯消元搞一搞。

设每个点的期望经过次数是\(g(x)\)，那么有

\[g(u) = \sum_{v} \frac{1}{out(v)}*g(v)
\]

特殊的，我们认为点\(1\)有一个一定经过的入边，且不考虑点\(n\)的所有出边。

这个\(g\)很好做啊，我们高斯消元搞一搞就好了。那边的期望经过次数\(f(x)\)也就显而易见。

\[f(x) = \frac{g(u)}{out(u)} + \frac{g(v)}{out(v)}
\]

然后这个题就做完了。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 500 + 5;

int n, m, u[N * N], v[N * N], out[N];

vector <int> G[N];

double ans, f[N * N], g[N], mat[N][N];

void gauss_jordan () {
	for (int i = 1; i <= n; ++i) {
		int besti = i;
		for (int j = i; j <= n; ++j) {
			if (fabs (mat[besti][i]) < fabs(mat[j][i])) {
				besti = j;
			}
		}
		if (i != besti) swap (mat[i], mat[besti]);
		for (int j = 1; j <= n; ++j) {
			if (i == j) continue;
			double t = mat[j][i] / mat[i][i];
			for (int k = i; k <= n + 1; ++k) {
				mat[j][k] -= mat[i][k] * t;
			}
		}
	}
	for (int i = 1; i <= n; ++i) {
		g[i] = mat[i][n + 1] / mat[i][i];
	}
}

int main () {
	// freopen ("data.in", "r", stdin);
	cin >> n >> m;
	for (int i = 1; i <= m; ++i) {
		cin >> u[i] >> v[i];
		G[u[i]].push_back (v[i]); if (u[i] != n) out[u[i]]++;
		G[v[i]].push_back (u[i]); if (v[i] != n) out[v[i]]++;
	}
	mat[1][n + 1] = 1;
	for (int u = 1; u <= n; ++u) {
		mat[u][u] = 1;
		for (int i = 0; i < G[u].size (); ++i) {
			int v = G[u][i];
			if (v == n) {
				mat[n][v] = -1.0 / out[v];
			} else {
				mat[u][v] = -1.0 / out[v];
			}
		}
	}
	gauss_jordan ();
	for (int i = 1; i <= m; ++i) {
		if (u[i] != n) f[i] += g[u[i]] / out[u[i]];
		if (v[i] != n) f[i] += g[v[i]] / out[v[i]];
	}
	sort (f + 1, f + 1 + m);
	for (int i = 1; i <= m; ++i) {
		ans += (m - i + 1) * f[i];
	}
	cout << fixed << setprecision (3) << ans << endl;
}