专题训练之数位DP

推荐以下一篇博客：https://blog.csdn.net/wust_zzwh/article/details/52100392

1.(HDOJ2089)http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2089

分析：裸模板题

 #include<cstdio>

 #include<cstring>

 #include<algorithm>

 using namespace std;

 typedef long long ll;

 int a[];

 int dp[][];

 int dfs(int pos,int pre,int sta,bool limit)

 {

     if ( pos==- ) return ;

     if ( !limit && dp[pos][sta]!=- ) return dp[pos][sta];

     int up=limit?a[pos]:;

     int tmp=;

     for ( int i=;i<=up;i++ )

     {

         if ( pre== && i== ) continue;

         if ( i== ) continue;

         tmp+=dfs(pos-,i,i==,limit&&i==a[pos]);

     }

     if ( !limit ) dp[pos][sta]=tmp;

     return tmp;

 }

 int solve(int x)

 {

     int pos=;

     while ( x )

     {

         a[pos++]=x%;

         x/=;

     }

     return dfs(pos-,-,,true);

 }

 int main()

 {

     int l,r;

     while ( scanf("%d%d",&l,&r)!=EOF && (l+r) )

     {

         memset(dp,-,sizeof(dp));

         printf("%d\n",solve(r)-solve(l-));

     }

     return ;

 }

HDOJ2089

2.(HDOJ3555)http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=3555

题意：求区间内不出现49的数的个数

分析：裸模板题

 #include<cstdio>

 #include<cstring>

 #include<algorithm>

 using namespace std;

 typedef long long ll;

 int a[];

 ll dp[][];

 ll dfs(int pos,int pre,int sta,bool limit)

 {

     if ( pos==- ) return ;

     if ( !limit && dp[pos][sta]!=- ) return dp[pos][sta];

     int up=limit?a[pos]:;

     ll tmp=;

     for ( int i=;i<=up;i++ )

     {

         if ( pre== && i== ) continue;

         tmp+=dfs(pos-,i,i==,limit&&i==a[pos]);

     }

     if ( !limit ) dp[pos][sta]=tmp;

     return tmp;

 }

 ll solve(ll x)

 {

     int pos=;

     while ( x )

     {

         a[pos++]=x%;

         x/=;

     }

     return dfs(pos-,-,,true);

 }

 int main()

 {

     ll l,r,T;

     memset(dp,-,sizeof(dp));

     scanf("%lld",&T);

     while ( T-- )

     {

         scanf("%lld",&r);

         printf("%lld\n",r-solve(r)+);

     }

     return ;

 }

HDOJ3555

3.(HDOJ4734)http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=4734

题意：题目给了个f(x)的定义：F(x) = A_n * 2^n-1 + A_n-1 * 2^n-2 + ... + A₂ * 2 + A₁ * 1，Ai是十进制数位，然后给出a,b求区间[0,b]内满足f(i)<=f(a)的i的个数。

分析：采用相减的思想,dp[i][j]，第一维表示处于数字的第几位（即pos），第二维表示是枚举到当前pos位，后面位数最多能凑的权值和为j（起始值为f(a)），最后当j>=0是满足条件的数。具体解释见上面的博客

 #include<cstdio>

 #include<cstring>

 #include<algorithm>

 using namespace std;

 typedef long long ll;

 const int maxn=;

 int a[];

 int dp[][maxn];

 int sum;

 int pow_[maxn];

 int dfs(int pos,int sta,bool limit)

 {

     if ( pos==- ) return ;

     if ( !limit && dp[pos][sta]!=- ) return dp[pos][sta];

     int up=limit?a[pos]:;

     int tmp=;

     for ( int i=;i<=up;i++ )

     {

         int x=pow_[pos]*i;

         if ( sta-x< ) continue;

         tmp+=dfs(pos-,sta-x,limit&&i==a[pos]);

     }

     if ( !limit ) dp[pos][sta]=tmp;

     return tmp;

 }

 int solve(int x)

 {

     int pos=;

     while ( x )

     {

         a[pos++]=x%;

         x/=;

     }

     return dfs(pos-,sum,true);

 }

 int main()

 {

     int l,r,T,i,j,k,h,A,B,x,y,z,cnt;

     pow_[]=;

     for ( i=;i<=;i++ ) pow_[i]=pow_[i-]*;

     scanf("%d",&T);

     memset(dp,-,sizeof(dp));

     for ( h=;h<=T;h++ )

     {

         scanf("%d%d",&A,&B);

         sum=;

         cnt=;

         x=A;

         while ( x )

         {

             y=x%;

             sum+=y*pow_[cnt++];

             x/=;

         }

         printf("Case #%d: %d\n",h,solve(B));

     }

     return ;

 }

HDOJ4734

4.(POJ3252)http://poj.org/problem?id=3252

题意：求一个范围内满足，二进制下0的位数>=1的位数的个数

分析：将原先的十进制一位转化为二进制一位.此题要在dfs中添加bool型的lead表示前导0，因为这题需要拿0的个数和1的个数比较，所以需要考虑前导0.同时dp数组的第二维记录的是0的个数-1的个数。因为可能为负，所以初始值不为0，而记一个较大的数（我记的是32，只要能使得过程不为负即可）

 #include<cstdio>

 #include<cstring>

 #include<algorithm>

 using namespace std;

 typedef long long ll;

 int a[];

 ll dp[][];

 ll dfs(int pos,int sta,bool lead,bool limit)

 {

     if ( pos==- ) return sta>=;

     if ( !limit && !lead && dp[pos][sta]!=- ) return dp[pos][sta];

     int up=limit?a[pos]:;

     ll tmp=;

     for ( int i=;i<=up;i++ )

     {

         if(lead && i==) tmp+=dfs(pos-,sta,lead,limit && i==a[pos]);

         else tmp+=dfs(pos-,sta+(i==?:-),lead && i==,limit && i==a[pos]);

     }

     if ( !limit&&!lead ) dp[pos][sta]=tmp;

     return tmp;

 }

 ll solve(ll x)

 {

     int pos=;

     while ( x )

     {

         a[pos++]=x%;

         x/=;

     }

     return dfs(pos-,,true,true);

 }

 int main()

 {

     ll l,r;

     memset(dp,-,sizeof(dp));

     while ( scanf("%lld%lld",&l,&r)!=EOF )

     {

         printf("%lld\n",solve(r)-solve(l-));

     }

     return ;

 }

POJ3252

5.(HDOJ5179)http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=5179

题意：给定一个数A,a数组从0开始对应着数A从左到右的每一尾，现在要求数A右边的数都不比左边的数大，同时要求在左边的数去模右边的数都为0

分析：dp数组的第二维记录前一位数是多少即可。转移时要转移到比前一位数小的数同时要被前一位数取模为0的数

 #include<cstdio>

 #include<cstring>

 #include<algorithm>

 using namespace std;

 typedef long long ll;

 int a[];

 int dp[][];

 int dfs(int pos,int sta,bool lead,bool limit)

 {

     if ( pos==- ) return ;

     if ( !limit && !lead && dp[pos][sta]!=- ) return dp[pos][sta];

     int up=limit?a[pos]:;

     int tmp=;

     for ( int i=;i<=up;i++ )

     {

         if ( !lead&&i== ) continue;

         if ( lead )

         {

             tmp+=dfs(pos-,i,lead && i==,limit&&i==a[pos]);

             continue;

         }

         if ( i>sta&&sta!=- ) break;

         if ( sta%i!= && sta!=- ) continue;

         tmp+=dfs(pos-,i,lead && i==,limit&&i==a[pos]);

     }

     if ( !limit&&!lead ) dp[pos][sta]=tmp;

     return tmp;

 }

 int solve(int x)

 {

     int pos=;

     while ( x )

     {

         a[pos++]=x%;

         x/=;

     }

     return dfs(pos-,-,true,true);

 }

 int main()

 {

     int l,r,T;

     scanf("%d",&T);

     memset(dp,-,sizeof(dp));

     while ( T-- )

     {

         scanf("%d%d",&l,&r);

         printf("%d\n",solve(r)-solve(l-));

     }

     return ;

 }

HDOJ5179

6.（HDOJ3652）http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=3652

题意：给定一个范围，求该范围内不含13同时不是13倍数的数的个数

分析：设置三维数组dp[i][j][k]，第一维表示位置，第二维表示13的余数，

第三维有三个值，0代表此前还未出现过13同时前一位不为1，1代表此前还未出现过13同时前1位位1，2代表此前已经出现过了13

最后判断时，只有当第二维为0，第三维为2时才加入计数

注意第三维转移时到底是多少

 #include<cstdio>

 #include<cstring>

 #include<algorithm>

 using namespace std;

 typedef long long ll;

 int a[];

 int dp[][][];

 int dfs(int pos,int rem,int sta,bool limit)

 {

     if ( pos==- ) return rem==&&sta==;

     if ( !limit && dp[pos][rem][sta]!=- ) return dp[pos][rem][sta];

     int up=limit?a[pos]:;

     int tmp=;

     for ( int i=;i<=up;i++ )

     {

         int x=sta;

         if ( sta== && i== ) x=;

         if ( sta== && i!= ) x=;

         if ( sta== && i== ) x=;

         tmp+=dfs(pos-,(rem*+i)%,x,limit&&i==a[pos]);

     }

     if ( !limit ) dp[pos][rem][sta]=tmp;

     return tmp;

 }

 int solve(int x)

 {

     int pos=;

     while ( x )

     {

         a[pos++]=x%;

         x/=;

     }

     return dfs(pos-,,,true);

 }

 int main()

 {

     int l,r;

     memset(dp,-,sizeof(dp));

     while ( scanf("%d",&r)!=EOF )

     {

         printf("%d\n",solve(r));

     }

     return ;

 }

HDOJ3652

7.（HDOJ3709）http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=3709

题意：求区间[L, R]内平衡数的个数平衡数的定义是指，以某位作为支点，此位的左面（数字 * 距离）之和与右边相等,距离是指某位到支点的距离;

分析：首先需要明确一个数如果是平衡数，那么它的支点一定是确定。所以需要枚举支点是哪个点。要注意在数位dp的dfs中，由于 0 对于每个位置都会被统计到，最后要再减去重复的。

 #include<cstdio>

 #include<cstring>

 #include<algorithm>

 using namespace std;

 typedef long long ll;

 int a[];

 ll dp[][][];

 ll dfs(int pos,int bal,int sum,bool limit)

 {

     if ( pos==- ) return sum==;

     if ( !limit && dp[pos][bal][sum]!=- ) return dp[pos][bal][sum];

     int up=limit?a[pos]:;

     ll tmp=;

     for ( int i=;i<=up;i++ )

     {

         if ( sum+(pos-bal)*i< ) continue;

         tmp+=dfs(pos-,bal,sum+(pos-bal)*i,limit&&i==a[pos]);

     }

     if ( !limit ) dp[pos][bal][sum]=tmp;

     return tmp;

 }

 ll solve(ll x)

 {

     if ( x==- ) return ;

     int pos=;

     while ( x )

     {

         a[pos++]=x%;

         x/=;

     }

     ll ans=;

     for ( int i=;i<pos;i++ ) ans+=dfs(pos-,i,,true);

     return ans-pos+;

 }

 int main()

 {

     ll l,r;

     int T;

     memset(dp,-,sizeof(dp));

     scanf("%d",&T);

     while ( T-- )

     {

         scanf("%I64d%I64d",&l,&r);

         printf("%I64d\n",solve(r)-solve(l-));

     }

     return ;

 }

HDOJ3709

8.（HDOJ4507）http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=4507

分析：dp[i][j][k]第二维表示%7后的余数，第三维表示所有位数的和%7后的值。因为要求的是所有满足条件的数的平方和，我们考虑对一个数按平方和规则进行拆分。

结构体数组dp中记录三个值,cnt代表满足条件的数的个数，sum表示满足条件的数的求和，sum2表示满足条件的数的平方和.

以下转移式为不带取模的转移方程,假设第i位是当前这位,pos为当前所处的位置,p[pos]代表10^pos次，当前的状态为ans，子状态为tmp(方法：先考虑单个式子再进行累加)

ans.cnt+=tmp.cnt

ans.sum+=(tmp.sum+tmp.cnt*(i*p[pos]))

ans.sum2+=(tmp.cnt*（(i*p[pos])^2）+2*(i*p[i])*tmp.sum+tmp.sum2)

 #include<cstdio>

 #include<cstring>

 #include<algorithm>

 using namespace std;

 typedef long long ll;

 const ll mod=1e9+;

 int a[];

 ll p[];

 struct node{

     ll cnt,sum,sum2;

     node(ll _cnt=,ll _sum=,ll _sum2=):cnt(_cnt),sum(_sum),sum2(_sum2) {}

 }dp[][][];

 node dfs(int pos,int rem,int snum,bool limit)

 {

     if ( pos==- )

     {

         node ss(,,);

         if ( rem!= && snum!= ) ss.cnt=;

         return ss;

     }

     if ( !limit && dp[pos][rem][snum].sum2!=- ) return dp[pos][rem][snum];

     int up=limit?a[pos]:;

     node ans(,,);

     for ( int i=;i<=up;i++ )

     {

         if ( i== ) continue;

         node tmp=dfs(pos-,(rem*+i)%,(snum+i)%,limit&&i==a[pos]);

         ans.cnt+=tmp.cnt;

         ans.cnt%=mod;

         ans.sum+=(tmp.sum+i*p[pos]%mod*tmp.cnt%mod)%mod;

         ans.sum%=mod;

         ans.sum2+=(tmp.sum2+*p[pos]*i%mod*tmp.sum%mod)%mod;

         ans.sum2%=mod;

         ans.sum2+=(tmp.cnt*p[pos]%mod*p[pos]%mod*i*i%mod);

         ans.sum2%=mod;

     }

     if ( !limit ) dp[pos][rem][snum]=ans;

     return ans;

 }

 ll solve(ll x)

 {

     int pos=;

     while ( x )

     {

         a[pos++]=x%;

         x/=;

     }

     node tmp=dfs(pos-,,,true);

     return tmp.sum2;

 }

 int main()

 {

     ll l,r;

     int T;

     memset(dp,-,sizeof(dp));

     p[]=;

     for ( int i=;i<=;i++ ) p[i]=(p[i-]*)%mod;

     scanf("%d",&T);

     while ( T-- )

     {

         scanf("%I64d%I64d",&l,&r);

         printf("%I64d\n",((solve(r)-solve(l-))%mod+mod)%mod);

     }

     return ;

 }

HDOJ4507

9.（HDOJ3886）http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=3886

题意：给出一个字符，只含'/'，'-' ，'\' ，表示着一个数上的各位数字按相应字符上升，不变或下降，问【a,b】区间内这样的数有多少个？

分析;dp[i][j][k]第二维表示前一个值是什么，第三维表示当前处于波动字符串的第几个位置

要注意几点：

a、为了确保每个数只被计算一次，当能进入一个新的起伏时，尽量先进入，如果不能再判断是否符合之前的起伏。

b、前导零不应该被算入起伏中，起伏只能在没有前导零的数中匹配。

c、n个运算符至少要有n+1个数。

d、注意开始的状态，第一个数以及第一个运算符。

e、注意大数减一的计算。

f、注意减法的取模。

 #include<cstdio>

 #include<cstring>

 #include<algorithm>

 using namespace std;

 typedef long long ll;

 const int maxn=;

 const int mod=1e8;

 char s1[maxn],s2[maxn],op[maxn];

 int a[maxn];

 int dp[maxn][][maxn],len;

 bool check ( int x , int y , char c )

 {

     if ( c == '/' &&  x < y ) return true ;

     if ( c == '-' && x == y ) return true ;

     if ( c == '\\' && x > y ) return true ;

     return false ;

 }  

 ll dfs(int pos,int pre,int p,bool lead,bool limit)

 {

     if ( pos==- ) return p==len;

     if ( !limit && !lead && dp[pos][pre][p]!=- ) return dp[pos][pre][p];

     int up=limit?a[pos]:;

     ll tmp=;

     for ( int i=;i<=up;i++ )

     {

         if ( lead ) tmp=(tmp+dfs(pos-,i,p,lead&&i==,limit&&i==a[pos]))%mod;

         else if ( p<len && check(pre,i,op[p+]) ) tmp=(tmp+dfs(pos-,i,p+,lead,limit&&i==a[pos]))%mod;

         else if ( p> && check(pre,i,op[p]) ) tmp=(tmp+dfs(pos-,i,p,lead,limit&&i==a[pos]))%mod;

     }

     if ( !limit&&!lead ) dp[pos][pre][p]=tmp%mod;

     return tmp;

 }

 ll solve(char *x,int f)

 {

     int i=,pos=;

     int len_=strlen(x);

     while ( x[i]=='' ) i++;

     if ( x[i]=='\0' )  return ;

     for( int j=len_-;j>=i;j-- ) a[pos++]=x[j]-'';

     if( f )

     {

         a[]--;

         for( int j=;j<pos;j++ )

         {

             if(a[j]<)

             {

                 a[j]+=;

                 a[j+]--;

             }

         }

     }

     pos--;

     if( a[pos]== ) pos--;

     return dfs(pos,,,true,true)%mod;

 }  

 int main()

 {

     int l,r;

     while ( scanf("%s",op+)!=EOF )

     {

         memset(dp,-,sizeof(dp));

         len=strlen(op+);

         scanf("%s%s",s1,s2);

         ll r=solve(s2,);

         ll l=solve(s1,);

         printf("%08lld\n",(r-l+mod)%mod);

     }

     return ;

 }

HDOJ3886

10.(HDOJ4352)http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=4352

题意：给定一个区间，让你求这个区间中数位从左到右满足LIS恰好为m的数的个数

分析：dp[i][j][k],第二维表示当前的状态（即LIS），第三维表示所求的LIS的长度

第二维中要用到LIS的nlogn的算法,具体见https://blog.csdn.net/shuangde800/article/details/7474903。大致的含义就是j的二进制表示下有多少个位置为1代表LIS的长度为多少，从小到大出现的第i个1的位置j代表长度为i的LIS结尾为j。每次更新时，不断更新j(大致思想就是nlogn的LIS做法),注意记忆化返回的是要求的LIS长度的状态，而不是当前状态的LIS长度的状态

 #include<cstdio>

 #include<cstring>

 #include<algorithm>

 using namespace std;

 typedef long long ll;

 int a[],m;

 ll dp[][][];

 int getnews(int x,int s)

 {

     for( int i=x;i<=;i++ )

         if(s&(<<i)) return (s^(<<i))|(<<x);

     return s|(<<x);

 }

 int count(int x)

 {

     int cnt=;

     while ( x )

     {

         if ( x& ) cnt++;

         x/=;

     }

     return cnt;

 }

 ll dfs(int pos,int sta,bool lead,bool limit)

 {

     if ( pos==- ) return count(sta)==m;

     if ( !limit && !lead && dp[pos][sta][m]!=- ) return dp[pos][sta][m];

     int up=limit?a[pos]:;

     ll tmp=;

     for ( int i=;i<=up;i++ )

     {

         tmp+=dfs(pos-,(lead&&i==)?:getnews(i,sta),lead&&i==,limit&&i==a[pos]);

     }

     if ( !limit&&!lead ) dp[pos][sta][m]=tmp;

     return tmp;

 }

 ll solve(ll x)

 {

     int pos=;

     while ( x )

     {

         a[pos++]=x%;

         x/=;

     }

     return dfs(pos-,,true,true);

 }

 int main()

 {

     ll l,r;

     int T,h;

     memset(dp,-,sizeof(dp));

     scanf("%d",&T);

     for ( h=;h<=T;h++ )

     {

         scanf("%lld%lld%d",&l,&r,&m);

         printf("Case #%d: %lld\n",h,solve(r)-solve(l-));

     }

     return ;

 }

HDOJ4352

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「kuangbin带你飞」专题十五数位DP
传送门 A.CodeForces - 55D Beautiful numbers 题意一个正整数是漂亮数 ,当且仅当它能够被自身的各非零数字整除.我们不必与之争辩,只需计算给定范围中有多少个漂亮数 ...
2019年9月训练(壹)数位DP (HDU 2089)
开学之后完全没时间写博客.... HDU 2089 不要62(vjudge) 数位DP 思路: 题目给出区间[n,m] ,找出不含4或62的数的个数用一个简单的差分:先求0~m+1的个数,再减去0~ ...
专题训练之区间DP
例题:以下例题部分的内容来自https://blog.csdn.net/my_sunshine26/article/details/77141398 一.石子合并问题 1.(NYOJ737)http: ...
HDU 4352 XHXJ's LIS(数位dp&状态压缩)
题目链接:[kuangbin带你飞]专题十五数位DP B - XHXJ's LIS 题意给定区间.求出有多少个数满足最长上升子序列(将数看作字符串)的长度为k. 思路一个数的上升子序列最大长度为 ...
HDU 3652 B-number(数位dp&记忆化搜索)
题目链接:[kuangbin带你飞]专题十五数位DP G - B-number 题意求1-n的范围里含有13且能被13整除的数字的个数. 思路首先,了解这样一个式子:a%m == ((b%m)* ...
POJ 3252 Round Numbers(数位dp&记忆化搜索)
题目链接:[kuangbin带你飞]专题十五数位DP E - Round Numbers 题意给定区间.求转化为二进制后当中0比1多或相等的数字的个数. 思路将数字转化为二进制进行数位dp,由于 ...
dp专题训练
****************************************************************************************** 动态规划专题训练 ...
DP专题训练之HDU 2955 Robberies
打算专题训练下DP,做一道帖一道吧~~现在的代码风格完全变了~~大概是懒了.所以.将就着看吧~哈哈 Description The aspiring Roy the Robber has seen a ...

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