51nod 1227 平均最小公倍数【欧拉函数+杜教筛】

以后这种题能用phi的就不要用mu…mu往往会带着个ln然后被卡常致死

把题目要求转换为前缀和相减的形式，写出来大概是要求这样一个式子：

\[\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{i}\frac{j}{gcd(i,d)}
\]

注意j的限制是i

\[\sum_{d=1}^{n}\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{i}[gcd(i,j)==d]\frac{j}{d}
\]

\[\sum_{d=1}^{n}\sum_{i=1}^{\left \lfloor \frac{n}{d} \right \rfloor}\sum_{j=1}^{i}[gcd(i,j)==1]\frac{jd}{d}
\]

\[\sum_{d=1}^{n}\sum_{i=1}^{\left \lfloor \frac{n}{d} \right \rfloor}\sum_{j=1}^{i}[gcd(i,j)==1]j
\]

然后有一个打表找规律发现的式子：

\[\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{i}[gcd(i,j)==1]i*j=\sum_{i=1}^{n}i*\frac{\phi(i)*i+[i==1]}{2}
\]

于是原式可转化为：

\[\sum_{d=1}^{n}\sum_{i=1}^{\left \lfloor \frac{n}{d} \right \rfloor}\frac{\phi(i)*i+[i==1]}{2}
\]

\[\frac{\sum_{d=1}^{n}\sum_{i=1}^{\left \lfloor \frac{n}{d} \right \rfloor}\phi(i)*i}{2}+\frac{n}{2}
\]

先不考虑后面的加和下面的除二，于是要求的就是：

\[\sum_{d=1}^{n}\sum_{i=1}^{\left \lfloor \frac{n}{d} \right \rfloor}\phi(i)*i
\]

\( \sum_{i=1}^{\left \lfloor \frac{n}{d} \right \rfloor}\phi(i)*i \)的部分显然可以用杜教筛处理，然后拒绝算时间复杂度。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
const long long N=1000005,m=1000000,inv6=166666668,inv2=500000004,mod=1e9+7;
long long a,b,n,phi[N],q[N],tot,ha[N];
bool v[N];
long long clc1(long long x)
{
	return x*(x+1)%mod*inv2%mod;
}
long long clc2(long long x)
{
	return x*(x+1)%mod*(2*x+1)%mod*inv6%mod;
}
long long slv(long long x)
{
	if(x<=m)
		return phi[x];
	if(ha[n/x])
		return ha[n/x];
	long long re=clc2(x);
	for(long long i=2,la;i<=x;i=la+1)
	{
		la=x/(x/i);
		re=(re-(clc1(la)-clc1(i-1))%mod*slv(x/i)%mod)%mod;
	}
	return ha[n/x]=re;
}
long long wk(long long x)
{
	n=x;
	memset(ha,0,sizeof(ha));
	long long re=0ll;
	for(long long i=1,la;i<=x;i=la+1)
	{
		la=x/(x/i);
		re=(re+(la-i+1)*slv(x/i)%mod)%mod;
	}
	return (re+x)*inv2%mod;
}
int main()
{
	phi[1]=1;
	for(long long i=2;i<=m;i++)
	{
		if(!v[i])
		{
			q[++tot]=i;
			phi[i]=i-1;
		}
		for(long long j=1;j<=tot&&i*q[j]<=m;j++)
		{
			long long k=i*q[j];
			v[k]=1;
			if(i%q[j]==0)
			{
				phi[k]=phi[i]*q[j];
				break;
			}
			phi[k]=phi[i]*(q[j]-1);
		}
	}
	for(long long i=1;i<=m;i++)
		phi[i]=(phi[i-1]+phi[i]*i%mod)%mod;
	scanf("%lld%lld",&a,&b);
	printf("%lld\n",((wk(b)-wk(a-1))%mod+mod)%mod);
	return 0;
}