洛谷 - P2181 - 对角线 - 打表 - 组合数学
https://www.luogu.org/problemnew/show/P2181
对于某条对角线,除去从两端出发的对角线,其他的都与它有1个交点。
每个点有(n-3)条对角线,每条对角线和其余C(n-2,2)条对角线都有1个交点,共有n个点,重复计算交点再除以2,重复计算直线再除以2。
即n(n-3)/2条对角线,每条对角线和(n-2)(n-3)/2条对角线都有1个交点,重复计算交点再除以2。(错了,并非所有对角线都相交)
画图手数,按规律数的话,发现n=4,1个交点;n=5,5个交点=sum(1,2)+2sum(1,1);n=6,15个交点=sum(1,3)+2sum(1,2)+3sum(1,1);n=7,35个交点=sum(1,4)+2sum(1,3)+3sum(1,2)+4sum(1,1)。
所以我们首先得到一个n复杂度的解法。利用这个解法打表看看。
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long ll sum(ll a1,ll an){
return (an-a1+)*(a1+an)/;
} int main(){
for(int n=;n<=;n++){
ll ans=;
for(int i=;i<=n-;i++){
ans+=1ll*i*sum(,n--i);
}
printf("n=%d ans=%lld\n",n,ans);
} }
n= ans=
n= ans=
n= ans=
n= ans=
n= ans=
n= ans=
n= ans=
n= ans=
n= ans=
n= ans=
n= ans=
n= ans=
n= ans=
n= ans=
n= ans=
n= ans=
n= ans=
n= ans=
再试试大点的会不会爆,结果看不太出来,用ull和ll的结果没啥不同,赌他不溢出。
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long unsigned ll sum(ll a1,ll an){
return (an-a1+)*(a1+an)/;
} int main(){
int n;
scanf("%d",&n);
//for(int n=99999;n<=100000;n++){
unsigned ll ans=;
for(int i=;i<=n-;i++){
ans+=1llu*i*sum(,n--i);
}
//printf("n=%d ans=%llu\n",n,ans);
printf("%llu\n",ans);
//} }
事实证明是没有溢出。所以上面是正确的解法。
这道题还有用公式的解法,降低了一个维度。除了用组合数学的知识直接得到(4个不同的点确定一个交点,直接C(n,4)),还可以暴力求解,这里介绍一下高阶差分。
首先我们由打表代码得到
35 70 126
一阶差分
二阶差分
三阶差分
四阶差分
五阶差分
所以上式是一个关于n的四次多项式。设为an^4+bn^3+cn^2+dn+e=0。
代入前5项强行算出来吧。还是说有别的计算方法?
的确有!(差分数列只要得到等差数列即可)
写出差分表之后,差分表的每行第0项组成第0对角线,即c0,c1,c2,c3,0,0,0...。原序列的通项满足
hn=c0C(n,0)+c1C(n,1)+c2C(n,2)+c3C(n,3),利用这个形式甚至可以求出前n项和。(组合数的求和sum(k=0~n,C(k,p))=C(k+1,p+1))
参考https://blog.csdn.net/wu_tongtong/article/details/79115921
洛谷 - P2181 - 对角线 - 打表 - 组合数学的更多相关文章
- 洛谷P2181 对角线(组合数)
题目描述 对于一个N个定点的凸多边形,他的任何三条对角线都不会交于一点.请求楚图形中对角线交点的个数. 例如,6边形: 输入输出格式 输入格式: 第一行一个n,代表边数. 输出格式: 第一行输出交点数 ...
- 洛谷P3158 [CQOI2011]放棋子 组合数学+DP
题意:在一个m行n列的棋盘里放一些彩色的棋子,使得每个格子最多放一个棋子,且不同颜色的棋子不能在同一行或者同一列.有多少祌方法? 解法:这道题不会做,太菜了qwq.题解是看洛谷大佬的. 设C是组合数, ...
- 【题解】洛谷 P1014 【Cantor表】
1. 我们先引入三角形数的概念: >定数目的点或圆在等距离的排列下可以形成一个等边三角形,这样的数被称为三角形数. >古希腊著名科学家毕达哥拉斯把数1,3,6,10,15,21……这些数量 ...
- 【洛谷】【st表+模拟】P1311 选择客栈
[题目描述:] 丽江河边有n 家很有特色的客栈,客栈按照其位置顺序从 1 到n 编号.每家客栈都按照某一种色调进行装饰(总共 k 种,用整数 0 ~ k-1 表示),且每家客栈都设有一家咖啡店,每家咖 ...
- 洛谷P4104 [HEOI2014]平衡(dp 组合数学)
题意 题目链接 Sol 可以把题目转化为从\([1, 2n + 1]\)中选\(k\)个数,使其和为\((n+1)k\). 再转化一下:把\((n+1)k\)划分为\(k\)个数,满足每个数在范围在\ ...
- 洛谷P4071 [SDOI2016] 排列计数 [组合数学]
题目传送门 排列计数 题目描述 求有多少种长度为 n 的序列 A,满足以下条件: 1 ~ n 这 n 个数在序列中各出现了一次 若第 i 个数 A[i] 的值为 i,则称 i 是稳定的.序列恰好有 m ...
- 洛谷P3643 [APIO2016]划艇(组合数学)
题面 传送门 题解 首先区间个数很少,我们考虑把所有区间离散化(这里要把所有的右端点变为\(B_i+1\)代表的开区间) 设\(f_{i,j}\)表示考虑到第\(i\)个学校且第\(i\)个学校必选, ...
- 洛谷P2606 [ZJOI2010]排列计数 组合数学+DP
题意:称一个1,2,...,N的排列P1,P2...,Pn是Magic的,当且仅当2<=i<=N时,Pi>Pi/2. 计算1,2,...N的排列中有多少是Magic的,答案可能很大, ...
- 【洛谷3865】 【模板】ST表(猫树)
传送门 洛谷 Solution 实测跑的比ST表快!!! 这个东西也是\(O(1)\)的,不会可以看我上一篇Blog 代码实现 代码戳这里
随机推荐
- Solidworks修改零件文件名之后工程图找不到零件怎么办
如下图所示,如果我直接把"压紧柱 V1.0"改名为"压紧柱",则打开工程图之后图纸都没了. 即便你用打开零件的方式找到了这个零件,工程图还是老样子 所以 ...
- 第二种BitBand操作的方式 - 让IDE来帮忙算地址
要使用Bitband来訪问外设,一定要得出相应的映射地址.人工计算肯定是不靠谱的,并且也没人想这么干.因此能够通过Excel,拉个列表来计算.想想,这也是一个不错的招数.可是后来想想,还是嫌麻烦,毕竟 ...
- mvc5新特性RouteAttribute特征路由
mvc5新特性RouteAttribute特征路由,本文讲述如何开启mvc5的RouteAttribute路由功能并附上一个实例说明RouteAttribute是怎么工作的 mvc5新特性RouteA ...
- Java数据结构与算法之排序
排序从大体上来讲,做了两件事情: 1.比較两个数据项: 2.交换两个数据项.或复制当中一项 一.冒泡排序 大O表示法:交换次数和比較次数都为O(N*N). 算法原理: 1.比較相邻的元素.假设第一个比 ...
- 使用JXL对EXCLE的导入导出
import java.io.File; import java.io.FileInputStream; import java.io.IOException; import java.util.Da ...
- 《Unix网络编程》中的错误处理函数
#include "net.h" #include <syslog.h> // syslog() int daemon_proc; static void err_do ...
- WTF
WTF ,luna黑色主题比较sublime 还是差点!
- C语言文件读写Demo
CIODemo.c #include <stdio.h> #include <time.h> #define INPUT_BUFFER_SIZE 100 * 1024 int ...
- DELPHI中的消息处理机制(三种消息处理方法的比较,如何截断消息)
DELPHI中的消息处理机制 Delphi是Borland公司提供的一种全新的WINDOWS编程开发工具.由于它采用了具有弹性的和可重用的面向对象Pascal(object-orientedpasca ...
- (C)do{...}while(0);的用法及意义
实际上,do{…}while(0)的作用远大于美化你的代码. 总结起来这样写主要有以下几点好处: 1. 辅助定义复杂的宏 避免引用的时候出错: 举例来说,假设你需要定义这样一个宏: #define D ...