洛谷P3643 [APIO2016]划艇（组合数学）

题面

传送门

题解

首先区间个数很少，我们考虑把所有区间离散化（这里要把所有的右端点变为\(B_i+1\)代表的开区间）

设\(f_{i,j}\)表示考虑到第\(i\)个学校且第\(i\)个学校必选，这个学校选择的数在离散后的第\(j\)个区间内，方案数是多少

怎么转移呢，我们考虑枚举上一个不在第\(j\)个区间的学校\(k\)，设\([k+1,i]\)中有\(a\)个学校是可以选在第\(j\)个区间的，且第\(j\)个区间的长度为\(b\)，然后暴力枚举这\(m\)个数中有\(q\)个选了，那么转移就是

\[f_{i,j}=\sum_{k=0}^{i-1}\left(\sum_{p=0}^{j-1}f_{k,p}\right)\sum_{q=1}^{\min(a,b)}{a-1\choose q-1}{b\choose q}
\]

\(\sum_{p=0}^{j-1}f_{k,p}\)显然是可以做一个前缀和的

然后对于\(\sum_{q=1}^{\min(a,b)}{a-1\choose q-1}{b\choose q}\)，它等于\(\sum_{q=1}^{\min(a,b)}{a-1\choose a-q}{b\choose q}\)，可以理解为有\(a+b-1\)个数，要选出\(a\)个，然后枚举前\(a-1\)个数里选了多少个和后\(b\)个里选了多少个，那么上面的柿子就等价于\({a+b-1\choose a}\)

于是递推式就可以化为

\[f_{i,j}=\sum_{k=0}^{i-1}{a+b-1\choose a}\left(\sum_{p=0}^{j-1}f_{k,p}\right)
\]

然后没有然后了

//minamoto
#include<bits/stdc++.h>
#define R register
#define fp(i,a,b) for(R int i=(a),I=(b)+1;i<I;++i)
#define fd(i,a,b) for(R int i=(a),I=(b)-1;i>I;--i)
#define go(u) for(int i=head[u],v=e[i].v;i;i=e[i].nx,v=e[i].v)
using namespace std;
char buf[1<<21],*p1=buf,*p2=buf;
inline char getc(){return p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,1<<21,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++;}
int read(){
    R int res,f=1;R char ch;
    while((ch=getc())>'9'||ch<'0')(ch=='-')&&(f=-1);
    for(res=ch-'0';(ch=getc())>='0'&&ch<='9';res=res*10+ch-'0');
    return res*f;
}
const int N=1005,P=1e9+7;
inline int add(R int x,R int y){return x+y>=P?x+y-P:x+y;}
inline int dec(R int x,R int y){return x-y<0?x-y+P:x-y;}
inline int mul(R int x,R int y){return 1ll*x*y-1ll*x*y/P*P;}
int ksm(R int x,R int y){
	R int res=1;
	for(;y;y>>=1,x=mul(x,x))if(y&1)res=mul(res,x);
	return res;
}
int A[N],B[N],D[N],inv[N],len[N],C[N],f[N][N],g[N][N];
int n,m,res;
int main(){
//	freopen("testdata.in","r",stdin);
	n=read();
	fp(i,1,n)A[i]=read(),B[i]=read(),D[++m]=A[i],D[++m]=B[i]+1;
	D[++m]=0,sort(D+1,D+1+m),D[m+1]=D[m]+1,m=unique(D+1,D+m+2)-D-1;
	fp(i,1,m-1)len[i]=D[i+1]-D[i];
	fp(i,1,n){
		A[i]=lower_bound(D+1,D+1+m,A[i])-D,
		B[i]=upper_bound(D+1,D+1+m,B[i])-D-1;
	}
	--m;
	inv[0]=inv[1]=1;fp(i,2,n)inv[i]=mul(P-P/i,inv[P%i]);
	f[0][0]=1;
	fp(i,0,m)g[0][i]=1;
	fp(i,1,n){
		for(R int j=A[i],a,b;j<=B[i];++j){
			a=len[j]-1,b=0,C[i]=1;
			fd(k,i-1,0)
				A[k+1]<=j&&B[k+1]>=j?(C[k]=1ll*(++a)*inv[++b]%P*C[k+1]%P):C[k]=C[k+1];
			fd(k,i-1,0)f[i][j]=add(f[i][j],mul(C[k],g[k][j-1]));
		}
		g[i][0]=f[i][0];
		fp(j,1,m)g[i][j]=add(f[i][j],g[i][j-1]);
		res=add(res,g[i][m]);
	}
	printf("%d\n",res);
	return 0;
}