直角三角形,三条边的长度都是整数。给出周长N,求符合条件的三角形数量。

 例如:N = 120,共有3种不同的满足条件的直角3角行。分别是:{20,48,52}, {24,45,51}, {30,40,50}。
 输入:
第1行:一个数T,表示后面用作输入测试的数的数量。(1 <= T <= 50000)
第2 - T + 1行:每行1个数N(12 <= N <= 10^7)。
输出:
输出共T行,每行1个对应的数量。

解法1:所有本原直角三角形(即边为a、b、c,gcd(a,b,c)==1)可表示为两奇数s和t,s>t,gcd(s,t)==1, 边为st,(s*s-t*t)/2,(s*s+t*t)/2
反之,任意符合条件的s,t也可通过这样组成本原直角三角形
所以周长C= s*(s+t) ,对于C<=1e7,发现是s是sqrt级别的,可以s^2暴力求gcd即O(n*gcd复杂度),求出所有在数据范围内的本原直角三角形的周长
那么对于一个周长n,不同的直角三角形必定对应着不同的本原直角三角形,所以本原直角三角形周长必定是n的因子,枚举n的因子,然后统计答案
#include<bits/stdc++.h>
#define mst(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
#define lowbit(x) (x&(-x))
#define lson (rt<<1)
#define rson (rt<<1|1)
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef long long LL;
typedef unsigned long long ull;
typedef pair<ll,ll> pll;
typedef pair<ll,int>pli;
typedef pair<int,int> pii;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
const ll INF = 0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
const int maxn = 1e7+;
const int mod = 1e9+;
int mi[maxn],use[maxn],ggg[maxn];
void init(int c=maxn-){
int cc=;
for(int i=; i<=c; ++i) {
if(!mi[i])use[++cc]=i,mi[i]=i;
int to=c/i;
for(int j=; j<=cc and use[j]<=to; ++j) {
mi[use[j]*i]=use[j];
if(i%use[j]==) break;
}
}
int u=sqrt(c);
for(int i=;i<=u;i+=){
int to=min(i-,(c-i*i)/i);
for(int j=;j<=to;j+=){
if(__gcd(i,j)==){
++ggg[i*(i+j)];
}
}
}
}
int f[],cnt[],cc;
int d[],gg;
void dfs(int cur,int now){
if(cur>cc){
d[++gg]=now;
}else{
for(int i=;i<=cnt[cur];++i){
dfs(cur+,now);
now*=f[cur];
}
}
}
int solve(int val,int ti){
int res=;
int tmp=val;
cc=;
while(tmp>){
int v=mi[tmp];
f[++cc]=v;
cnt[cc]=;
while(tmp%v==){
++cnt[cc];
tmp/=v;
}
}
gg=;
dfs(,);
for(int i=;i<=gg;++i)
res+=ggg[d[i]];
return res;
}
int main() {
#ifdef local
freopen("in.txt","r",stdin);
// freopen("out.txt","w",stdout);
#endif
ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie();
cout.tie();
init();
int T;cin>>T;
for(int i=;i<=T;++i){
int val;cin>>val;
if(val&)cout<<<<"\n";
else cout<<solve(val,i)<<"\n"; }
return ;
}
解法2:化式子
  a*a+b*b = c*c
  a+b+c = n
-> a+b+sqrt(a*a+b*b) = n
-> sqrt(a*a+b*b) = n-a-b
-> 两边平方并化简
-> n^2 - 2an = 2bn-2ab
-> b = (n^2-2an)/(2n-2a)
令f = n-a
则 b = n(2n-2a -n)/(2f) = n(2f - n)/(2f) = n- n^2/(2f)
则有2f | n^2
再看适用范围,有
0 < a < n/3
a < b (不会有等于,abc都是整数,a=b,c=sqrt(2)a × )
得到 n > f > 2n/3 -> 2n > 2f > 4n/3
n-f < n-n^2/(2f) -> 2f^2 > n^2 -> 2f > sqrt(2)n > 4n/3
所以 sqrt(2)n < 2t < 2n
当2t确定,a也确定了
所以在n^2的因子中找符合条件的数
#include<bits/stdc++.h>
#define mst(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
#define lowbit(x) (x&(-x))
#define lson (rt<<1)
#define rson (rt<<1|1)
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef long long LL;
typedef unsigned long long ull;
typedef pair<ll,ll> pll;
typedef pair<ll,int>pli;
typedef pair<int,int> pii;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
const ll INF = 0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
const int maxn = 1e7+;
const int mod = 1e9+;
int mi[maxn],use[maxn],ggg[maxn];
inline int gcd(int a,int b){
return b?gcd(b,a%b):a;
}
void init(int c=maxn-){
int cc=;
for(int i=; i<=c; ++i) {
if(!mi[i])use[++cc]=i,mi[i]=i;
int to=c/i;
for(int j=; j<=cc and use[j]<=to; ++j) {
mi[use[j]*i]=use[j];
if(i%use[j]==) break;
}
}
// int u=sqrt(c);
// for(int i=3;i<=u;i+=2){
// int to=min(i-1,(c-i*i)/i);
// for(int j=1;j<=to;j+=2){
// if(gcd(i,j)==1){
// ++ggg[i*(i+j)];
// }
// }
// }
}
int f[],cnt[],cc;
ll d[],gg;
void dfs(int cur,ll now){
if(cur>cc){
d[++gg]=now;
}else{
for(int i=;i<=cnt[cur];++i){
dfs(cur+,now);
now*=f[cur];
}
}
}
int solve(int val,int ti){
int res=;
int tmp=val;
cc=;
while(tmp>){
int v=mi[tmp];
f[++cc]=v;
cnt[cc]=;
while(tmp%v==){
++cnt[cc];
tmp/=v;
}
cnt[cc]<<=;
}
gg=;
dfs(,);
int l=sqrt()*val,r=val<<;
for(int i=;i<=gg;++i){
ll v=d[i];
if(v&)continue;
if(v>l and v<r)++res;
}
return res;
}
int main() {
#ifdef local
freopen("in.txt","r",stdin);
// freopen("out.txt","w",stdout);
#endif
ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie();
cout.tie();
init();
int T;cin>>T;
for(int i=;i<=T;++i){
int val;cin>>val;
if(val&)cout<<<<"\n";
else cout<<solve(val,i)<<"\n"; }
return ;
}

发现两种解法的运行速度差不多。。。


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