51nod 1165 整边直角三角形的数量（两种解法）

　链接：http://www.51nod.com/Challenge/Problem.html#!#problemId=1165

　直角三角形，三条边的长度都是整数。给出周长N，求符合条件的三角形数量。

　例如：N = 120，共有3种不同的满足条件的直角3角行。分别是：{20,48,52}, {24,45,51}, {30,40,50}。

　输入：

第1行：一个数T，表示后面用作输入测试的数的数量。（1 <= T <= 50000)
第2 - T + 1行：每行1个数N(12 <= N <= 10^7)。
输出：

输出共T行，每行1个对应的数量。

解法1：所有本原直角三角形（即边为a、b、c，gcd（a，b，c）==1）可表示为两奇数s和t,s>t，gcd(s,t)==1, 边为st，(s*s-t*t)/2,(s*s+t*t)/2
反之，任意符合条件的s，t也可通过这样组成本原直角三角形
所以周长C= s*(s+t) ，对于C<=1e7,发现是s是sqrt级别的,可以s^2暴力求gcd即O（n*gcd复杂度），求出所有在数据范围内的本原直角三角形的周长
那么对于一个周长n，不同的直角三角形必定对应着不同的本原直角三角形，所以本原直角三角形周长必定是n的因子，枚举n的因子，然后统计答案

#include<bits/stdc++.h>
#define mst(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
#define lowbit(x) (x&(-x))
#define lson        (rt<<1)
#define rson        (rt<<1|1)
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef long long LL;
typedef unsigned long long ull;
typedef pair<ll,ll> pll;
typedef pair<ll,int>pli;
typedef pair<int,int> pii;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
const ll INF = 0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
const int maxn = 1e7+;
const int mod = 1e9+;
int mi[maxn],use[maxn],ggg[maxn];
void init(int c=maxn-){
    int cc=;
    for(int i=; i<=c; ++i) {
        if(!mi[i])use[++cc]=i,mi[i]=i;
        int to=c/i;
        for(int j=; j<=cc and use[j]<=to; ++j) {
            mi[use[j]*i]=use[j];
            if(i%use[j]==) break;
        }
    }
    int u=sqrt(c);
    for(int i=;i<=u;i+=){
        int to=min(i-,(c-i*i)/i);
        for(int j=;j<=to;j+=){
            if(__gcd(i,j)==){
                ++ggg[i*(i+j)];
            }
        }
    }
}
int f[],cnt[],cc;
int d[],gg;
void dfs(int cur,int now){
    if(cur>cc){
        d[++gg]=now;
    }else{
        for(int i=;i<=cnt[cur];++i){
            dfs(cur+,now);
            now*=f[cur];
        }
    }
}
int solve(int val,int ti){
    int res=;
    int tmp=val;
    cc=;
    while(tmp>){
        int v=mi[tmp];
        f[++cc]=v;
        cnt[cc]=;
        while(tmp%v==){
            ++cnt[cc];
            tmp/=v;
        }
    }
    gg=;
    dfs(,);
    for(int i=;i<=gg;++i)
        res+=ggg[d[i]];
    return res;
}
int main() {
#ifdef local
    freopen("in.txt","r",stdin);
//    freopen("out.txt","w",stdout);
#endif
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie();
    cout.tie();
    init();
    int T;cin>>T;
    for(int i=;i<=T;++i){
        int val;cin>>val;
        if(val&)cout<<<<"\n";
        else cout<<solve(val,i)<<"\n";

    }
    return ;
}

解法2：化式子
　　a*a+b*b = c*c
　　a+b+c = n
-> a+b+sqrt(a*a+b*b) = n
-> sqrt(a*a+b*b) = n-a-b
-> 两边平方并化简
-> n^2 - 2an = 2bn-2ab
-> b = (n^2-2an)/(2n-2a)

令f = n-a
则 b = n(2n-2a -n)/(2f) = n(2f - n)/(2f) = n- n^2/(2f)
则有2f | n^2
再看适用范围，有
0 < a < n/3
a < b (不会有等于，abc都是整数，a=b，c=sqrt(2)a  × )
得到 n > f > 2n/3  ->  2n > 2f > 4n/3
n-f < n-n^2/(2f)  ->  2f^2 > n^2  -> 2f > sqrt(2)n > 4n/3
所以 sqrt(2)n < 2t < 2n
当2t确定，a也确定了
所以在n^2的因子中找符合条件的数

#include<bits/stdc++.h>
#define mst(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
#define lowbit(x) (x&(-x))
#define lson        (rt<<1)
#define rson        (rt<<1|1)
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef long long LL;
typedef unsigned long long ull;
typedef pair<ll,ll> pll;
typedef pair<ll,int>pli;
typedef pair<int,int> pii;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
const ll INF = 0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
const int maxn = 1e7+;
const int mod = 1e9+;
int mi[maxn],use[maxn],ggg[maxn];
inline int gcd(int a,int b){
    return b?gcd(b,a%b):a;
}
void init(int c=maxn-){
    int cc=;
    for(int i=; i<=c; ++i) {
        if(!mi[i])use[++cc]=i,mi[i]=i;
        int to=c/i;
        for(int j=; j<=cc and use[j]<=to; ++j) {
            mi[use[j]*i]=use[j];
            if(i%use[j]==) break;
        }
    }
//    int u=sqrt(c);
//    for(int i=3;i<=u;i+=2){
//        int to=min(i-1,(c-i*i)/i);
//        for(int j=1;j<=to;j+=2){
//            if(gcd(i,j)==1){
//                ++ggg[i*(i+j)];
//            }
//        }
//    }
}
int f[],cnt[],cc;
ll d[],gg;
void dfs(int cur,ll now){
    if(cur>cc){
        d[++gg]=now;
    }else{
        for(int i=;i<=cnt[cur];++i){
            dfs(cur+,now);
            now*=f[cur];
        }
    }
}
int solve(int val,int ti){
    int res=;
    int tmp=val;
    cc=;
    while(tmp>){
        int v=mi[tmp];
        f[++cc]=v;
        cnt[cc]=;
        while(tmp%v==){
            ++cnt[cc];
            tmp/=v;
        }
        cnt[cc]<<=;
    }
    gg=;
    dfs(,);
    int l=sqrt()*val,r=val<<;
    for(int i=;i<=gg;++i){
        ll v=d[i];
        if(v&)continue;
        if(v>l and v<r)++res;
    }
    return res;
}
int main() {
#ifdef local
    freopen("in.txt","r",stdin);
//    freopen("out.txt","w",stdout);
#endif
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie();
    cout.tie();
    init();
    int T;cin>>T;
    for(int i=;i<=T;++i){
        int val;cin>>val;
        if(val&)cout<<<<"\n";
        else cout<<solve(val,i)<<"\n";

    }
    return ;
}

发现两种解法的运行速度差不多。。。