UVALive 4849 String Phone（2-sat、01染色）

题目一眼看去以为是4-sat。。。

题意：给n（n<=3000）个黑方块的坐标，保证黑方块没有公共边。对于每个黑方块选一个角作为结点，使得所选结点满足输入的一个无向图。其中距离为曼哈顿距离。输出是否有解。possible或impossible。

对于每个黑方块，4个角落必须选且仅选一个。一开始2-sat建模是对于一个pnt[i]，有4对点pnt[i][0], pnt[i][0]', pnt[i][1], pnt[i][1]', pnt[i][2], pnt[i][2]', pnt[i][3], pnt[i][3]'。但是这样建模只能保证4个角落至多选一个（pnt[i][j]连pnt[i][k]' (k!=j)），保证不了至少选一个。

参考别人代码，发现神做法。类似2-sat的嵌套。。。01染色+2sat

把4个角落分组，左上和右下为第0组，右上和左下为第1组。（因为左上和右下的曼哈顿距离为2，有可能共存；右上和左下同理）。而左上和右上不可能共存，左上和左下同理。（没必要也没有意义把不共存的分为一组。）

通过染色，可以确定每个黑方块只有2种选择（黑方块染为第0组，则只能选左上或右下，且必须选且仅选一个；第1组同理）。到这里就可以看得出，显然的2-sat模型。感觉就像是2*2sat==4sat。

#pragma comment (linker,"/STACK:102400000,102400000")
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <string>
#include <vector>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <queue>
#include <set>
#include <map>
#include <stack>
using namespace std;

#define eps 1e-8
#define ll long long
#define mxn 2600
#define mxe 26000
#define inf 0x3f3f3f3f
#define MP make_pair

#define maxn 6060
#define maxm 310000*8

struct Edge{
	int v,w,nxt;
}e[maxm];
int head[maxn],esz;
void init(){esz=0;memset(head,-1,sizeof(head));}
void addedge(int u,int v,int w){
	e[esz].v=v,e[esz].w=w,e[esz].nxt=head[u];
	head[u]=esz++;
}

struct SAT{
	Edge e[maxm];
	int head[maxn], em;
	void init(){em=0;memset(head,-1,sizeof(head));}
	void add(int u,int v){
		e[esz].v=v,e[esz].nxt=head[u];
		head[u]=esz++;
	}
	int dfn[maxn],low[maxn],id,cnt;
	bool ins[maxn];
	int st[maxn],top;
	int belong[maxn];
	void strong(int x,int fa){
		dfn[x]=low[x]=++id;
		st[top++]=x;
		ins[x]=true;
		for(int i=head[x];i!=-1;i=e[i].nxt){
			int v = e[i].v;
			if(!dfn[v]){
				strong(v,x);
				low[x] = min(low[x],low[v]);
			}else if(ins[v]) low[x] = min(low[x], dfn[v]);
		}
		if(dfn[x]==low[x]){
			int u=-1;++cnt;
			while(u!=x){
				u = st[--top];
				ins[u]=false;
				belong[u]=cnt;
			}
		}
	}
	bool tarjan(int n){
		id=cnt=top=0;
		memset(dfn,0,sizeof(dfn));
		memset(low,0,sizeof(low));
		memset(ins,0,sizeof(ins));
		for(int i=0;i<n;++i) if(!dfn[i]) strong(i,-1);
		for(int i=0;i<n;i+=2) if(belong[i]==belong[i^1]) return false;
		return true;
	}
}sat;

int dx[2][2]={{0,1},{0,1}};
int dy[2][2]={{0,1},{1,0}};
struct Pnt{
	int x,y;
	Pnt(){}
	Pnt(int xx,int yy):x(xx),y(yy){}
}pnt[maxn];
Pnt pp[maxn][2];
int dis(Pnt a,Pnt b){return abs(a.x-b.x)+abs(a.y-b.y);}
int kind[maxn];
bool color(int u,int sign){
	kind[u] = sign;
	for(int i=head[u];i!=-1;i=e[i].nxt){
		int v = e[i].v;
		int sign2 = (dis(pnt[u],pnt[v])&1)^(e[i].w&1)^sign;
		if(kind[v]==-1){
			if(color(v,sign2)==false) return false;
		}else if(kind[v]!=sign2) return false;
	}
	return true;
}
bool jud(int u,int sign,int n){
	memset(kind,-1,sizeof(kind));
	if(color(u,sign)==false) return false;
	for(int i=1;i<=n;++i){
		pp[i][0] = Pnt(pnt[i].x+dx[kind[i]][0], pnt[i].y+dy[kind[i]][0]);
		pp[i][1] = Pnt(pnt[i].x+dx[kind[i]][1], pnt[i].y+dy[kind[i]][1]);
	}
	sat.init();
	for(int i=1;i<=n;++i){
		if(kind[i]==-1) continue;
		for(int j=head[i];j!=-1;j=e[j].nxt){
			int to = e[j].v;
			int w = e[j].w;
			int dis1 = dis(pp[i][0], pp[to][0]);
			int dis2 = dis(pp[i][0], pp[to][1]);
			if(dis1!=w || dis2!=w){
				if(dis1!=w && dis2!=w){
					sat.add(2*i-2,2*i-1);
				}else if(dis1==w){
					sat.add(2*i-2,2*to-2);
				}else if(dis2==w){
					sat.add(2*i-2,2*to-1);
				}
			}

			dis1 = dis(pp[i][1], pp[to][0]);
			dis2 = dis(pp[i][1], pp[to][1]);
			if(dis1!=w || dis2!=w){
				if(dis1!=w && dis2!=w){
					sat.add(2*i-1,2*i-2);
				}else if(dis1==w){
					sat.add(2*i-1,2*to-2);
				}else if(dis2==w){
					sat.add(2*i-1,2*to-1);
				}
			}
		}
	}
	bool ans = sat.tarjan(n*2);
	return ans;
}
int fa[maxn];
int find(int x){return x==fa[x]?x:fa[x]=find(fa[x]);}
int main(){
	int t,n,m;
	scanf("%d",&t);
	while(t--){
		scanf("%d",&n);
		for(int i=1;i<=n;++i) scanf("%d%d",&pnt[i].x,&pnt[i].y);
		scanf("%d",&m);
		init();
		for(int i=0;i<=n;++i) fa[i]=i;
		for(int i=0;i<m;++i){
			int u,v,w;
			scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);
			addedge(u,v,w);
			addedge(v,u,w);
			fa[find(u)] = find(v);
		}
		bool yes = true;
		for(int i=1;i<=n;++i){
			if(i==fa[i]){
				if(jud(i,0,n)==false && jud(i,1,n)==false){
					yes = false;
					break;
				}
			}
		}
		if(yes) puts("possible");
		else puts("impossible");
	}
	return 0;
}