Manacher算法讲解——字符串最长回文子串
引
入
引入
引入
Manachar算法主要是处理字符串中关于回文串的问题的,这没什么好说的。
M
a
n
a
c
h
e
r
算
法
Manacher算法
Manacher算法
朴素
求一个字符串中以每个点为中心的最长回文子串,这是
m
a
n
a
c
h
e
r
manacher
manacher 直接解决的问题。
以每个点为中心的回文子串是连续的,它并不像字符串的
b
o
r
d
e
r
border
border ,因此可以二分,于是在不知道
m
a
n
a
c
h
e
r
manacher
manacher 的情况下其实可以用字符串哈希+二分,只不过是
O
(
n
l
o
g
n
)
O(nlogn)
O(nlogn) 的。
但是
m
a
n
a
c
h
e
r
manacher
manacher 可以
O
(
n
)
O(n)
O(n) 算出,因此在有些专门卡
l
o
g
log
log 的题目中
m
a
n
a
c
h
e
r
manacher
manacher 有不可比拟的优越性。
我们不妨设以
i
i
i 为中心的最长回文子串长度为
F
[
i
]
∗
2
+
1
F[i]*2+1
F[i]∗2+1 ,
m
a
n
a
c
h
e
r
manacher
manacher 实际上是利用了一个回文字符串内的
F
[
]
F[]
F[] 的性质。
一个回文字符串,因为它是对称的,因此在仅考虑此字符串的情况下,它的
F
F
F 数组也是对称的,这便是
m
a
n
a
c
h
e
r
manacher
manacher 算法的核心了吧。
因此,我们考虑从左到右依次计算
F
[
i
]
F[i]
F[i] ,当遍历到一个点
i
i
i 时,首先
F
[
i
−
1
]
F[i-1]
F[i−1] 肯定已经算出来了。
如果
F
[
i
−
1
]
=
=
0
F[i-1]==0
F[i−1]==0 就直接暴力扩展 i ,否则,如果
F
[
i
−
2
]
<
F
[
i
−
1
]
−
1
F[i-2] < F[i-1]-1
F[i−2]<F[i−1]−1,说明什么呢?
F
[
i
]
=
F
[
i
−
2
]
F[i]=F[i-2]
F[i]=F[i−2],一定是这样的.
- F
[
i
]
F[i]
F[i] 肯定不能小于
F
[
i
−
2
]
F[i-2]
F[i−2] ,因为这个回文子串以
i
−
1
i-1
i−1 为对称中心,两边对称的两点,既然其中
i
−
2
i-2
i−2 可以扩大到
F
[
i
−
2
]
F[i-2]
F[i−2],且在
i
−
1
i-1
i−1 为中心的大回文串内 ,由于对称性,因此
[
i
−
F
[
i
−
2
]
,
i
+
F
[
i
−
2
]
]
[i-F[i-2],i+F[i-2]]
[i−F[i−2],i+F[i−2]] 范围内也一定是个回文串。
- F
[
i
]
F[i]
F[i] 也不能大于
F
[
i
−
2
]
F[i-2]
F[i−2] ,因为以每个点为中心的回文子串是连续的,
F
[
i
]
>
F
[
i
−
2
]
F[i]>F[i-2]
F[i]>F[i−2] 意味着
F
[
i
]
F[i]
F[i] 可以为
F
[
i
−
2
]
+
1
F[i-2]+1
F[i−2]+1,而由于
F
[
i
−
2
]
<
F
[
i
−
1
]
−
1
F[i-2] < F[i-1]-1
F[i−2]<F[i−1]−1 ,对于
i
−
2
i-2
i−2 来说,
F
[
i
−
2
]
+
1
F[i-2]+1
F[i−2]+1 仍然在大回文串范围内,因此
F
[
i
−
2
]
F[i-2]
F[i−2] 肯定就不止这个数了。
然后呢,是不是可以继续利用这个大红串呢?我们还可以考虑
F
[
i
−
3
]
F[i-3]
F[i−3] 是否小于
F
[
i
−
1
]
−
2
F[i-1]-2
F[i−1]−2 来决定
F
[
i
+
1
]
F[i+1]
F[i+1] ,考虑
F
[
i
−
4
]
F[i-4]
F[i−4] 是否小于
F
[
i
−
1
]
−
3
F[i-1]-3
F[i−1]−3 来决定
F
[
i
+
2
]
F[i+2]
F[i+2] ……直到超出红框或者:有一个
F
[
i
−
2
−
x
]
≥
F
[
i
−
1
]
−
1
−
x
F[i-2-x] ≥ F[i-1]-1-x
F[i−2−x]≥F[i−1]−1−x,这时候,
F
[
i
+
x
]
F[i+x]
F[i+x] 至少能扩大到红框边界吧,因为它的对称点都能扩大到红框边界。然后,再把
F
[
i
+
x
]
F[i+x]
F[i+x] 暴力往外扩。
我们会发现,整个过程中,每次往外扩一定能使前面所有的
i
+
F
[
i
]
i+F[i]
i+F[i] 的最大值变大,因此,它是线性的。
转化
很明显,对于一个回文字符串而言,并不一定中心是一个字符,也有可能是两个相同的字符的中界,即回文串长度为偶数,因此,一般把原串中每两个字符中间添一个没出现过的字符,于是所有的
F
[
i
]
∗
2
+
1
F[i]*2+1
F[i]∗2+1(包括边界的)都会变成
(
F
[
i
]
∗
2
+
1
)
∗
2
+
1
(F[i]*2+1)*2+1
(F[i]∗2+1)∗2+1 ,这样就可以解决长度为偶数的情况。
模板
void Manacher(char *s,int *F,int n) {// 已是转化后的 S
F[1] = 0;
for(int i = 2;i <= n;i ++) {
int j = i;
while(j < i-1+F[i-1] && j+F[i-1-(j-i+1)] < i-1+F[i-1]) F[j] = F[i-1-(j-i+1)],j ++;
F[j] = max(0,i-1+F[i-1] - j);
while(j+F[j] < n && j-F[j] > 1 && s[j+F[j]+1] == s[j-F[j]-1]) F[j] ++;
i = j;
}
return ;
}
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