引入

引入

Manachar算法主要是处理字符串中关于回文串的问题的,这没什么好说的。

M

a

n

a

c

h

e

r

Manacher算法

Manacher算法

朴素

求一个字符串中以每个点为中心的最长回文子串,这是

m

a

n

a

c

h

e

r

manacher

manacher 直接解决的问题。

以每个点为中心的回文子串是连续的,它并不像字符串的

b

o

r

d

e

r

border

border ,因此可以二分,于是在不知道

m

a

n

a

c

h

e

r

manacher

manacher 的情况下其实可以用字符串哈希+二分,只不过是

O

(

n

l

o

g

n

)

O(nlogn)

O(nlogn) 的。

但是

m

a

n

a

c

h

e

r

manacher

manacher 可以

O

(

n

)

O(n)

O(n) 算出,因此在有些专门卡

l

o

g

log

log 的题目中

m

a

n

a

c

h

e

r

manacher

manacher 有不可比拟的优越性。

我们不妨设以

i

i

i 为中心的最长回文子串长度为

F

[

i

]

2

+

1

F[i]*2+1

F[i]∗2+1 ,

m

a

n

a

c

h

e

r

manacher

manacher 实际上是利用了一个回文字符串内的

F

[

]

F[]

F[] 的性质。

一个回文字符串,因为它是对称的,因此在仅考虑此字符串的情况下,它的

F

F

F 数组也是对称的,这便是

m

a

n

a

c

h

e

r

manacher

manacher 算法的核心了吧。

因此,我们考虑从左到右依次计算

F

[

i

]

F[i]

F[i] ,当遍历到一个点

i

i

i 时,首先

F

[

i

1

]

F[i-1]

F[i−1] 肯定已经算出来了。

如果

F

[

i

1

]

=

=

0

F[i-1]==0

F[i−1]==0 就直接暴力扩展 i ,否则,如果

F

[

i

2

]

<

F

[

i

1

]

1

F[i-2] < F[i-1]-1

F[i−2]<F[i−1]−1,说明什么呢?

F

[

i

]

=

F

[

i

2

]

F[i]=F[i-2]

F[i]=F[i−2],一定是这样的.

  1. F

    [

    i

    ]

    F[i]

    F[i] 肯定不能小于

    F

    [

    i

    2

    ]

    F[i-2]

    F[i−2] ,因为这个回文子串以

    i

    1

    i-1

    i−1 为对称中心,两边对称的两点,既然其中

    i

    2

    i-2

    i−2 可以扩大到

    F

    [

    i

    2

    ]

    F[i-2]

    F[i−2],且在

    i

    1

    i-1

    i−1 为中心的大回文串内 ,由于对称性,因此

    [

    i

    F

    [

    i

    2

    ]

    ,

    i

    +

    F

    [

    i

    2

    ]

    ]

    [i-F[i-2],i+F[i-2]]

    [i−F[i−2],i+F[i−2]] 范围内也一定是个回文串。

  2. F

    [

    i

    ]

    F[i]

    F[i] 也不能大于

    F

    [

    i

    2

    ]

    F[i-2]

    F[i−2] ,因为以每个点为中心的回文子串是连续的,

    F

    [

    i

    ]

    >

    F

    [

    i

    2

    ]

    F[i]>F[i-2]

    F[i]>F[i−2] 意味着

    F

    [

    i

    ]

    F[i]

    F[i] 可以为

    F

    [

    i

    2

    ]

    +

    1

    F[i-2]+1

    F[i−2]+1,而由于

    F

    [

    i

    2

    ]

    <

    F

    [

    i

    1

    ]

    1

    F[i-2] < F[i-1]-1

    F[i−2]<F[i−1]−1 ,对于

    i

    2

    i-2

    i−2 来说,

    F

    [

    i

    2

    ]

    +

    1

    F[i-2]+1

    F[i−2]+1 仍然在大回文串范围内,因此

    F

    [

    i

    2

    ]

    F[i-2]

    F[i−2] 肯定就不止这个数了。

然后呢,是不是可以继续利用这个大红串呢?我们还可以考虑

F

[

i

3

]

F[i-3]

F[i−3] 是否小于

F

[

i

1

]

2

F[i-1]-2

F[i−1]−2 来决定

F

[

i

+

1

]

F[i+1]

F[i+1] ,考虑

F

[

i

4

]

F[i-4]

F[i−4] 是否小于

F

[

i

1

]

3

F[i-1]-3

F[i−1]−3 来决定

F

[

i

+

2

]

F[i+2]

F[i+2] ……直到超出红框或者:有一个

F

[

i

2

x

]

F

[

i

1

]

1

x

F[i-2-x] ≥ F[i-1]-1-x

F[i−2−x]≥F[i−1]−1−x,这时候,

F

[

i

+

x

]

F[i+x]

F[i+x] 至少能扩大到红框边界吧,因为它的对称点都能扩大到红框边界。然后,再把

F

[

i

+

x

]

F[i+x]

F[i+x] 暴力往外扩。

我们会发现,整个过程中,每次往外扩一定能使前面所有的

i

+

F

[

i

]

i+F[i]

i+F[i] 的最大值变大,因此,它是线性的。

转化

很明显,对于一个回文字符串而言,并不一定中心是一个字符,也有可能是两个相同的字符的中界,即回文串长度为偶数,因此,一般把原串中每两个字符中间添一个没出现过的字符,于是所有的

F

[

i

]

2

+

1

F[i]*2+1

F[i]∗2+1(包括边界的)都会变成

(

F

[

i

]

2

+

1

)

2

+

1

(F[i]*2+1)*2+1

(F[i]∗2+1)∗2+1 ,这样就可以解决长度为偶数的情况。

模板

void Manacher(char *s,int *F,int n) {// 已是转化后的 S
F[1] = 0;
for(int i = 2;i <= n;i ++) {
int j = i;
while(j < i-1+F[i-1] && j+F[i-1-(j-i+1)] < i-1+F[i-1]) F[j] = F[i-1-(j-i+1)],j ++;
F[j] = max(0,i-1+F[i-1] - j);
while(j+F[j] < n && j-F[j] > 1 && s[j+F[j]+1] == s[j-F[j]-1]) F[j] ++;
i = j;
}
return ;
}

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