(2015华中科技大学理科实验班选拔)
已知三次方程$x^3+ax^2+bx+x=0$有三个实数根.
(1)若三个实根为$x_1,x_2,x_3$,且$x_1\le x_2\le x_3,a,b$为常数,求$c$变化时$x_3-x_1$的取值范围.
(2)若三个实数根为$a,b,c$,求$a,b,c$


分析:
$$\begin{cases}
x_1+x_2+x_3&=-a\\
x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1&=b\\
x_1x_2x_3&=-c
\end{cases}$$
为方便起见记$x_2=t$
$(x_3-x_1)^2$
$=(x_3+x_1)^2-4x_1x_3$
$=(-a-t)^2+\dfrac{4c}{t}$
$=(-a-t)^2-\dfrac{4(t^3+at^2+bt)}{t}$
$=-3t^2-2at+a^2-4b$
又$(x^3+ax^2+bx+c)'=3x^2+2ax+b$由三次函数图像易知$t$在它的两个根之间,
二次函数$-3t^2-2at+a^2-4b$的最值在区间端点和对称轴处取得,

故所求范围为$\left[\sqrt{a^2-3b},2\sqrt{\dfrac{a^2}{3}-b}\right]$
$$\begin{cases}
a+b+c&=-a\\
ab+bc+ca&=b\\
abc&=-c
\end{cases}$$
得$c=0,a=0,b=0\vee c=0,a=1,b=-2\vee a=-\dfrac{1}{b},c=\dfrac{2}{b}-b$,
将$b$代入三次方程得$b^3+ab^2+b^2+c=0$再将$a=-\dfrac{1}{b},c=\dfrac{2}{b}-b$代入化简得
$b^4+b^3-2b^2+2=0$从而$b=-1$或者$b^3-2b+2=0$,利用代换$b=t+\dfrac{2}{3t},$代入化简得

$t^3+\dfrac{8}{27t^3}+2=0$
从而$t=\sqrt[3]{-1+\sqrt{\dfrac{19}{27}}}$
故有理解为\((a,b,c)=(0,0,0),(1,-1,-1),(1,-2,0)\),
无理解为\(\left(-\dfrac 1b,b,\dfrac 2b-b\right)\),其中\(b=t+\dfrac 2{3t}\),而\(t=\sqrt [3]{-1+\sqrt{\dfrac {19}{27}}}\).

MT【277】华中科技大学理科实验班选拔之三次方程的更多相关文章

  1. Minieye杯第十五届华中科技大学程序设计邀请赛现场同步赛 I Matrix Again

    Minieye杯第十五届华中科技大学程序设计邀请赛现场同步赛 I Matrix Again https://ac.nowcoder.com/acm/contest/700/I 时间限制:C/C++ 1 ...

  2. Aging Cell两篇连发 | 华中科技大学王建枝团队运用蛋白质组学技术发现具有AD早期诊断价值的血小板生物标志物

    阿尔茨海默症 (Alzheimer 's disease,AD) 是一种原发性的中枢神经系统退行性疾病.AD的主要临床症状是缓慢的认知功能减退,包括记忆.逻辑推理能力和语言功能的进行性丟失,最后发展为 ...

  3. Minieye杯第十五届华中科技大学程序设计邀请赛网络赛D Grid(简单构造)

    链接:https://ac.nowcoder.com/acm/contest/560/D来源:牛客网 题目描述 Give you a rectangular gird which is h cells ...

  4. H-Modify Minieye杯第十五届华中科技大学程序设计邀请赛现场赛

    题面见 https://ac.nowcoder.com/acm/contest/700#question 题目大意是有n个单词,有k条替换规则(单向替换),每个单词会有一个元音度(单词里元音的个数)和 ...

  5. Minieye杯第十五届华中科技大学程序设计邀请赛网络赛 部分题目

    链接:https://pan.baidu.com/s/12gSzPHEgSNbT5Dl2QqDNpA 提取码:fw39 复制这段内容后打开百度网盘手机App,操作更方便哦 D    Grid #inc ...

  6. 华中科技大学 ubuntu14.04源

    deb http://mirrors.hust.edu.cn/ubuntu/ trusty main restricteddeb-src http://mirrors.hust.edu.cn/ubun ...

  7. 在linux使用锐捷客户端上网(华中科技大学)

    第一步:下载锐捷客户端linux版本,下载网址为http://ncc.hust.edu.cn/cyxz/rzkhd.htm 第二步:解压该包,进入目录 #unzip RG_Supplicant_For ...

  8. 第十四届华中科技大学程序设计竞赛决赛同步赛 A - Beauty of Trees

    A - Beauty of Trees 题意: 链接:https://www.nowcoder.com/acm/contest/119/A来源:牛客网 Beauty of Trees 时间限制:C/C ...

  9. 第十四届华中科技大学程序设计竞赛决赛同步赛 F Beautiful Land(01背包,背包体积超大时)

    链接:https://www.nowcoder.com/acm/contest/119/F来源:牛客网 Beautiful Land 时间限制:C/C++ 1秒,其他语言2秒 空间限制:C/C++ 1 ...

随机推荐

  1. Randomized Online PCA Algorithms with Regret Bounds that are Logarithmic in the Dimension

    目录 Setup of Batch PCA and Online PCA Hedge Algorithm 改进算法 用于矩阵 \(rounding()\) 前俩次,都用到了\(rounding()\) ...

  2. 02-HTML之head标签

    head标签 head内常用标签表 标签 类型 意义 <title></titile> 双闭合标签 定义网页标题 <style></style> 双闭合 ...

  3. Graph Without Long Directed Paths CodeForces - 1144F (dfs染色)

    You are given a connected undirected graph consisting of nn vertices and mm edges. There are no self ...

  4. iOS iCloud云存储数据

    https://www.jianshu.com/p/ce8cfaf6030e 2017.11.29 16:05* 字数 452 阅读 302评论 0喜欢 1 因为上一次做了用keychain来持久化存 ...

  5. remote:error:refusing to update checked out branc

    参考网上的GIt服务器配置流程(http://blog.csdn.net/ice520301/article/details/6142503) 遇到了 http://www.cnblogs.com/c ...

  6. Spring Mvc和Spring Boot读取Profile方式

    spring boot java代码中获取spring.profiles.active - u013042707的专栏 - CSDN博客https://blog.csdn.net/u013042707 ...

  7. jmeter5.0生成html报告 快速入门

    JMeter性能测试5.0时代之-多维度的图形化HTML报告 快速入门 1.确认基本配置 在jmeter.properties或者user.properties确认如下配置项: jmeter.save ...

  8. 一、npm基础

    一.什么是npm? npm 是模块管理工具,可以下载.更新第三方模块,也可以发布自己的模块共替他人使用,主要目的在于分享和重用代码: 二.下载安装node,更新npm node 下载网址  https ...

  9. 【知乎】WinForm 与 WPF的区别

    你想上班 那么针对公司需求学如果只是自己写着玩 那么区分一下1.你的程序运行在 自己机器a.一个工具而已 要的是cooooooool 那么WPFb.一个工具而已 要的是useful easy 那么wi ...

  10. npm --save-dev 和--save 参数的区别

    npm中的--save与--save-dev参数的区别 --save一般规定把产品运行时(或生产环境)需要的npm包存入到package.json的dependencies中: --save-dev则 ...