AOJ 2214: Warp Hall(计数+dp)

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题意

有一个 \(N × M\) 的二维平面, 平面上有 k 对虫洞, \(N, M ≤ 1e5, k ≤ 1e3\). 每对虫洞具有坐标 \(x_1, y_1, x_2, y_2\), 满足 \(x_1 ≤ x_2, y_1 ≤ y_2\), 当质点运动到 \((x_1, y_1)\) 时, 会被强制传送到 \((x_2, y_2)\). 问只向右和向上运动的情况下, 从点 (1, 1) 出发至点 (N, M) 有多少种走法, 对 1'000'000'007 取模.

题解

对所有虫洞按 \(x_1, y_1\) 为第一, 第二关键字排序. dp[i] 为从点 (1, 1) 运动至第 i 个虫洞有多少种走法. 不考虑其他虫洞时 \(dp[i] = C_{x_1-1+y_1-1}^{x_1-1}\), 当点 p 左下方有虫洞的起点 b 时, 路径 s-b-p 是不存在的, 减去之; 当点 p 左下方有虫洞的终点 e 时, 路径 s-b-e-p 是新的合法路径, 增加之. 这些数值都是直接用 \(dp[j] * C_{x_1-x_2+y_1-y_2}^{x_1-x_2}\) 算出来.

上述做法是来源于这一篇题解, 我基本是看了这篇才会做这题的. 但是有一点没有想明白, 如果一个虫洞的左下方有多个虫洞时, 它们之间应该是会互相干扰的, 为什么还可以这样直接套组合数算呢.

我的想法是这样的, 对于左下角的若干个虫洞, 不妨想象它们是按排序后的顺序依次出现, 这样也不影响它们的答案. 出现第一个虫洞时, 路径 s-b-p 确确实实是不存在, 需要减去的, 路径 s-b-e-p 也是新的合法路径, 需要加上; 现在出现了第二个虫洞, 路径 s-b-p 不受影响, 该不存在还是不存在; 而路径 s-b-e-p 发生变化, 可能在中途走到了第二个虫洞的起点, 而我们注意到下一项的意义中是包含了这个变化, 因为此时 dp[1](从 0 计数) 是已经受第 0 个虫洞影响下从点 (1, 1) 到该点的方案数. 后面再出现虫洞也一样可以这么理解(大概).

再回想一下为什么先要对虫洞排序再 dp, 因为要保证所有在某一虫洞左下方的虫洞答案都已经更新过.

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
#define inc(i, l, r) for (int i = l; i <= r; i++)
#define dec(i, l, r) for (int i = l; i >= r; i--)
#define pii pair<int, int>
#define fi first
#define se second
#define pb push_back

const int maxn = 1e3 + 5;
const int maxnum = 2e5;
const int mod = 1e9 + 7;

int add(int a, int b) { return (a + b) % mod; }
int sub(int a, int b) { return (a - b + mod) % mod; }
int mul(int a, int b) { return 1LL * a * b % mod; }

struct worm {
    int x1, y1, x2, y2;
    bool operator<(const worm &o) const {
        if (x1 != o.x1) return x1 < o.x1;
        return y1 < o.y1;
    }
} w[maxn];

int dp[maxn], n, m, k;

inline ll ksm(ll _a, ll _n) {
    ll _r = 1;
    while (_n) {
        if (_n & 1) _r = _r * _a % mod;
        _a = _a * _a % mod;
        _n >>= 1;
    }
    return _r;
}

int fac[maxnum + 5];
int C(int _n, int _m) {
    return mul(mul(fac[_n], ksm(fac[_n - _m], mod - 2)), ksm(fac[_m], mod - 2));
}

int cal(int x1, int y1, int x2, int y2) {
    if (x1 > x2 || y1 > y2) return 0;
    return C(x2 - x1 + y2 - y1, x2 - x1);
}

int main() {
    fac[0] = 1;
    inc(i, 1, maxnum) fac[i] = mul(fac[i - 1], i);
    while (scanf("%d %d %d", &n, &m, &k) != EOF && n) {
        inc(i, 0, k - 1)
            scanf("%d %d %d %d", &w[i].x1, &w[i].y1, &w[i].x2, &w[i].y2);

        sort(w, w + k);
        w[k] = {n, m, n, m};
        for (int i = 0; i <= k; i++) {
            dp[i] = cal(1, 1, w[i].x1, w[i].y1);
            for (int j = 0; j < i; j++) {
                dp[i] = sub(
                    dp[i], mul(dp[j], cal(w[j].x1, w[j].y1, w[i].x1, w[i].y1)));
                dp[i] = add(
                    dp[i], mul(dp[j], cal(w[j].x2, w[j].y2, w[i].x1, w[i].y1)));
            }
        }
        printf("%d\n", dp[k]);
    }
}