【BZOJ】2111: [ZJOI2010]Perm 排列计数 计数DP+排列组合+lucas

【题目】BZOJ 2111

【题意】求有多少1~n的排列，满足\(A_i>A_{\frac{i}{2}}\)，输出对p取模的结果。\(n \leq 10^6,p \leq 10^9\)，p是素数。

【算法】计数DP+排列组合+lucas

【题解】令i的父亲为i/2，转化为要求给一棵n个点的完全二叉树编号使得儿子编号>父亲编号。

设\(f[i]\)表示以第i个点为根的子树的编号方案数（1~sz[i]的排列），考虑从两个儿子处转移。

排列的本质是大小关系，所以两个排列组合起来相当于对1_sz[i<<1]和1sz[i<<1|1]进行任意组合（各自保持顺序），然后从头到尾重编号成1~sz[i<<1]+sz[i<<1|1]。再将新的编号分配回去。

两个固定排列组合的方案数实际上是将sz[i<<1|1]个“1”分成sz[i<<1]+1份的方案数，采用隔板法易得C(sz[i<<1]+sz[i<<1|1],sz[i<<1])，再枚举两个排列，即：

\[f[i]=f[l_i]*f[r_i]*\binom{sz[i]-1}{sz[l_i]}
\]

为了方便看，这里\(l_i=i<<1\)，\(r_i=i<<1|1\)。

由于模数p可能比n小，会导致没有逆元，所以预处理1~min(n,p-1)的阶乘，然后用lucas求解组合数。

复杂度\(O(n)\)。

注意：n较大时线性预处理阶乘逆元保证复杂度，f数组全部初始化为1。

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int maxn=2000010;//
int n,MOD,fac[maxn],fav[maxn],sz[maxn],f[maxn];
void gcd(int a,int b,int &x,int &y){if(!b){x=1;y=0;}else{gcd(b,a%b,y,x);y-=x*(a/b);}}
int inv(int a){int x,y;gcd(a,MOD,x,y);return (x%MOD+MOD)%MOD;}
int c(int n,int m){return 1ll*fac[n]*fav[m]%MOD*fav[n-m]%MOD;}
int lucas(int n,int m){
	if(n<0||m<0||n<m)return 0;
	if(n<MOD)return c(n,m);
	return 1ll*c(n%MOD,m%MOD)*lucas(n/MOD,m/MOD)%MOD;
}
int main(){
	scanf("%d%d",&n,&MOD);int mx=min(MOD-1,n);
	fac[0]=1;for(int i=1;i<=mx;i++)fac[i]=1ll*fac[i-1]*i%MOD;
	fav[mx]=inv(fac[mx]);for(int i=mx;i>=1;i--)fav[i-1]=1ll*fav[i]*i%MOD;///
	for(int i=1;i<=(n<<1|1);i++)f[i]=1;
	for(int i=n;i>=1;i--){
		sz[i]=sz[i<<1]+sz[i<<1|1]+1;
		f[i]=1ll*f[i<<1]*f[i<<1|1]%MOD*lucas(sz[i]-1,sz[i<<1])%MOD;//
	}
	printf("%d",f[1]);
	return 0;
}