LCS（最长公共子序列）

　　这个问题很有意思，在生物应用中，经常需要比较两个（或多个）不同生物体的DNA片段。例如，某种生物的DNA可能为S₁ = ACCGGTCGAGTGCGCGGAAGCCGGCCGAA，S₂ = GTCGTTCGGAATGCCGTTGCTCTGTAAA。比较两个DNA串是想要确定它们之间的“相识度”，作为度量两种生物相近程度的指标。LCS就是寻找第三个串S₃，S₃满足定义：给定一个序列X = <x₁,x₂,...,x_n>，另一个序列Y = <y₁,y₂,...,y_m>即存在一个严格递增的X的下标序列<i₁,i₂,...,i_m>，对所有j = 1,2,...,m，满足x_ij = z_j。例如，Z = BCDB是ABCBDAB的子序列，对应的下标为[2,3,5,7]。

　　如果用暴力求解则很容易就达到指数阶的运行时间，所以显然需要优化。通过分析发现LCS问题具有最优子结构性质，于是，考虑用动态规划是一个非常不错的方案。

　　显然早就有许多人对此类问题做过很多工作，不管是理论上还是实际测试，都证明动态规划可以解决这一类型的问题，有时候甚至是最优方案。如何熟练使用动态规划的一大难点在于分析问题，要理解如何使用动态规划来解决问题，首先分析问题是否具有最优子结构是重要的，然后就是通过分析问题得到递归公式，只要得到了递归公式，我们就可以使用动态规划了。

　　LCS问题也不例外，经过分析和查资料，我们知道了LCS得最优子结构定理：

　　令X = <x₁,x₂,...,x_n>和Y = <y₁,y₂,...y_m>为两个序列，Z = <z₁,z₂,...,z_k>为X和Y的任意LCS。

• 如果x_n = y_m，则z_k = x_n = y_m且Z_{k - 1}是X_{n - 1}和Y_{m - 1}的一个LCS；
• 如果x_n ≠ y_m且z_k ≠ x_n，说明Z是X_{n - 1}和Y的一个LCS；
• 如果x_n ≠ y_m且z_k ≠ y_m，说明Z是X和Y_m的一个LCS；

　　然后，我们开始建立最优解的递归式。定义dp[i][j]为X_i和Y_j的LCS长度。显然的，当i = 0或j = 0时，LCS = 0。再结合最优子结构定理，可得到递归式：

                (    0;                              当 i = 0 或 j = 0;
dp[i][j] =      {    dp[i - 1][j - 1] + 1            当 i,j > 0 且 xi = yj;
                (    max(dp[i][j - 1], dp[i - 1][j]) 当 i,j > 0 且 xi != yj.

　　得到递归式后，就可以根据公式写出递归算法或动态规划算法：

#include <iostream>
#include <string>
#include <vector>
#include <minmax.h>

class Solution {
public:
	int LongestCommonSubsequence(std::string s1, std::string s2) {
		if (s1.empty() || s2.empty())
			return 0;
		std::vector<std::vector<int> > dp(s1.size(), std::vector<int>(s2.size(), 0));
		int length = 0;
		for (int i = 1; i < dp.size(); i++) {
			for (int j = 1; j < dp[0].size(); j++) {
				if (s1[i] == s2[j])
					dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
				else
					dp[i][j] = max(dp[i][j - 1], dp[i - 1][j]);
				length = max(length, dp[i][j]);
			}
		}
		return length + 1;
	}
};

int main()
{
	Solution solve;
	std::string s1{"ABCBDAB"};
	std::string s2{"ABDCABA"};

	std::cout << solve.LongestCommonSubsequence(s1, s2) << std::endl;

	return 0;
}

　　最后，类似的问题还有LIS（最长递增子序列）、LPS（最长回文子串）等等。

　　参考资料：

　　　　《算法导论》