[递推]C. 【例题3】数的划分

C

.

【

例

题

3

】

数

的

划

分

C. 【例题3】数的划分

C.【例题3】数的划分

题目描述

将整数

n

n

n 分成

k

k

k 份，且每份不能为空，任意两个方案不相同（不考虑顺序）。

例如：

n

=

7

n=7

n=7,

k

=

3

k=3

k=3,下面三种分法被认为是相同的：

1

,

1

,

5

;

1

,

5

,

1

;

1

,

1

,

5.

1,1,5;~~~~1,5,1;~~~~1,1,5.

1,1,5;    1,5,1;    1,1,5.

问有多少种不同的分法。

---

输入格式

两个整数，

n

n

n和

k

k

k 。

---

输出格式

输出不同的分法数。

---

样例

输入样例

7

3

7 ~~~3

7   3

输出样例

4

4

4

样例说明

四种分法为：

1

,

1

,

5

;

1

,

2

,

4

;

1

,

3

,

3

;

2

,

2

,

3.

1,1,5;~~~~ 1,2,4; ~~~~1,3,3;~~~~ 2,2,3.

1,1,5;    1,2,4;    1,3,3;    2,2,3.

---

题目解析

看题面,首先想到递推.
设

t

(

n

,

k

)

为

t(n,k)为

t(n,k)为整数

n

n

n分为

k

k

k份的不同分法的数量.
因为不能为空,那么最小就只能分到

1

1

1.
那么我们就可以得出:

t

(

n

,

k

)

=

1

(

n

=

=

k

)

t(n,k)=1~~~(n==k)~~~~~~~~~~~~

t(n,k)=1   (n==k)            (因为每份最多都是

1

1

1)

t

(

n

,

k

)

=

0

(

n

<

k

)

t(n,k)=0~~~(n<k)~~~~~~~~~~~~~~~

t(n,k)=0   (n<k)               (因为就算每份都只放

1

1

1也不够放,而且都不能为空)

然后我们考虑两种情况

1. 有一份是装有

   1

   1

   1的:那么就有

   t

   (

   n

   −

   1

   ,

   k

   −

   1

   )

   t(n-1,k-1)

   t(n−1,k−1)种情况

2. 没有一份是装有

   1

   1

   1的:那么就有

   t

   (

   n

   −

   k

   ,

   k

   )

   t(n-k,k)

   t(n−k,k)种情况

那么就能得出递推式:

t

(

n

,

k

)

=

{

t

(

n

,

k

)

=

1

(

n

=

=

k

)

t

(

n

,

k

)

=

0

(

n

<

k

)

t

(

n

,

k

)

=

t

(

n

−

1

,

k

−

1

)

+

t

(

n

−

k

,

k

)

t(n,k) = \left\{\begin{matrix} & t(n,k)=1~~~~~~~~~~~~~(n==k)\\ & t(n,k)=0~~~~~~~~~~~~~~~~(n<k)\\ & t(n,k)=t(n-1,k-1)+t(n-k,k)\\ \end{matrix}\right.

t(n,k)=⎩⎨⎧​​t(n,k)=1             (n==k)t(n,k)=0                (n<k)t(n,k)=t(n−1,k−1)+t(n−k,k)​

---

Code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int n, k, t[205][10];

int main ()
{
	scanf ("%d%d", &n, &k);
	memset (t, 0, sizeof (t));
	for (int i = 1; i <= n; ++ i)
	{
		for (int j = 1; j <= k; ++ j)
		{
			if (i == j) t[i][j] = 1; //每个都分1
			else if (i < j) t[i][j] = 0; //每个都分1也不够
			else t[i][j] = t[i - 1][j - 1]/*至少有一个份为1的方案数*/ + t[i - j][j]/*当没有任何一份为1时的方案数*/;
		}
	}
	printf ("%d", t[n][k]);
	return 0;
}